Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

146 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
Satz IX. Ist 9 kompakt und abgeschlossen, und ist A
eine eineindeutige stetige Abbildung von 91, so ist auch
A-~ stetig.
Sei in der Tat b ein Punkt aus A(W), und {bq} eine Punktfolge
aus A(S9) mit:
(*) lim bn =b.
n= 00
Ist a. das Urbild von b', so hat, weil 2 kompakt, die Folge {an}
einen Häufungspunkt a, und weil f abgeschlossen, gehört a zu 9l.
In {an} gibt es eine Teilfolge {ay}, so daß:
lim a,, = a,
v= 00
und wegen der Stetigkeit von A ist:
lim A(an)- = A (a), d. h. lim bn,-A(a).
~ ---00 7 — O0
Also durch Vergleich mit (*):
b==A(a), d.h. a=A-l(b).
Also hat die Folge {a"} nur den einzigen Häufungspunkt A-(b),
es ist somit (Kap. I, ~ 2, Satz I):
lima a=A-1(b), d.h. lim A-(b))- A-(b),
n = ff =~- CO
womit die Stetigkeit von A-1 nachgewiesen ist.
~ 7. Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat.
Ein sehr merkwürdiges Beispiel einer Abbildung erhalten wir, indem wir
an die Gleichung anknüpfen (Einleitung ~ 7, Satz X):
(*) = c2.
Es ist c die Mächtigkeit der Menge aller Punkte eines Intervalles des 91l; etwa,
wenn wir die Punkte des 9it mit t bezeichnen, des Intervalles [0, 1]:
(**) 0 <t1.
Nach der Definition des Produktes zweier Mächtigkeiten ist ferner c2 die Mächtigkeit der Menge aller Zahlenpaare x, y, deren jede zum Intervalle [0, 1]
gehört:
(***) o a x<l, Oy l,
~oder was dasselbe heißt, der Menge aller Punkte eines Quadrates im 9l2. Die
Gleichung (*) kann also so ausgesprochen werden:
Satz I. Es gibt eine eineindeutigeAbbildung des Intervalles(**)
auf das Quadrat (***)1).
1) G. Cantor, Journ. f. Math. 84 (1877), 254. Ganz ebenso folgert man
aus der Gleichung c ck die Existenz einer eineindeutigen Abbildung des Intervalles (**) auf das Intervall des 91k:
o0 x, (i= 1, 2,.., ).