Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 6. Stetige Abbildungen. 143
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat,
die Abbildung sei nicht stetig. Dann gibt es in 2t einen Punkt a
und eine Punktfolge {a"} mit lim a a=a, so daß nicht lim A (a")=A (a);
fl-00oo n= Xo
d. h. es gibt eine Umgebung $3 in A(W) von A(a), so daß unendlich
viele A(a,) in A ()- S8 liegen. Nun ist die Menge A (2)- $8 abgeschlossen in A(W). Ihr Urbild enthält unendlich viele a", nicht
aber deren Grenzpunkt a, ist also nicht abgeschlossen in S1. Damit
ist die Behauptung bewiesen.
Satz VIII von ~ 4 ist Spezialfall von:
Satz IVY). Jedes stetige Bild einer zusammenhängenden
Menge 1t ist zusammenhängend.
Sei in der Tat A(W) stetiges Bild von 9f; sei:
A(1) = + 23-, (21~ 23 abgeschlossen in A(1)),
und seien 21 und %2 die Urbilder von 3, und 2. Nach Satz III
sind 91 und 2 abgeschlossen in 21, und es ist:
Da 29 zusammenhängend, ist eine der beiden Mengen W, 212 leer,
daher ist auch eine der beiden Mengen 31, >32 leer; d. h. A(91) ist
zusammenhängend, und Satz IV ist bewiesen.
Eine Abbildung der Menge 21 heißt gleichmäßig stetig, wenn
zu jedem e> 0 ein > 0 gehört, so daß für zwei Punkte a, a"
von A:
r(A(a'), A(a")) < wenn r(a', a") < Q.
Satz IX von ~ 4 ist Spezialfall von:
Satz V. Jede stetige Abbildung einer kompakten und
abgeschlossenen Menge ist gleichmäßig stetig.
Der Beweis ist ganz derselbe wie für Satz IX von ~ 4.
Satz I von ~ 5 ist Spezialfall des ganz ebenso zu beweisenden
Satzes:
Satz VI. Eine stetige Abbildung von 2 ist völlig bestimmt durch die Bilder der Punkte eines in 21 dichten
Teiles von 91.
Satz VII von ~ 5 ist Spezialfall von:
Satz VII. Eine gleichmäßig stetige Abbildung B des
in 21 dichten Teiles 2 von 21 in eine vollständige Menge L
kann erweitert werden zu einer stetigen Abbildung von
2 in (.
1) Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.