Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 6. Stetige Abbildungen. 141
von 91, und ist 3' ein Teil von B, so heißt die Menge aller Punkte
von 9, die Urbilder eines Punktes von S' sind, das Urbild von 93'.
Wie bei Funktionen definiert man: die Abbildung A von i
heißt stetig im Punkte a von 91, wenn sie jede Punktfolge {a,}
aus 91 mit lim a-=a abbildet auf eine Punktfolge {A(a)} mit
n-= oo
lim A (a,) =A(a).
n= 00
Ist die Abbildung A von 91 stetig in jedem Punkte von 91, so
heißt sie eine stetige Abbildung von 91; das Bild A(91) heißt
dann ein stetiges Bild von 9.
In Analogie zu ~ 3, Satz IV gilt:
Satz I. Damit die Abbildung A von 1t stetig sei im
Punkte a von 1, ist notwendig und hinreichend, daß es zu
jeder Umgebung $ in 23 des Bildes A(a) von a eine Umgebung U in 1 von a gebe, so daß:
(*) A(u)<3.
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat A stetig in a
und 93 eine Umgebung von A(a) in 93. Sei ferner 1XU die Umgebung
U (a; -) von a in 91. Angenommen, in jedem U1 gäbe es ein a",
so daß A(a,) nicht in 93. Da A(a) in $8, so könnte nicht
lim A(a) - A (a)
n= oo
sein (Kap. I, ~ 3, Satz VI), im Widerspruch mit der vorausgesetzten
Stetigkeit von A. In mindestens einem 1UI gibt es also kein an,>
dessen Bild A(an) nicht zu 93 gehörte, d. h. es ist:
A(un) 2<
und die Behauptung ist bewiesen.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat,
sie sei erfüllt. Zur Umgebung S von A (a) in 83 gibt es dann eine
Umgebung U in 9 von a, so daß (*) gilt. Ist {a"} eine Punktfolge
in 91 mit lim a,-=a, so ist a, in U für fast alle n, mithin, wegen
n =- o~
(*), A(a,) in 93 für fast alle n; also ist (Kap. I, ~ 3, Satz VI):
lim A(a,) = A(a),
nsD oo
d. h. A ist stetig in a, wie behauptet.
Satz II von ~ 4 ist ein Spezialfall des Satzes:
Satz II1). Jedes stetige Bild einer kompakten, abgeschlossenen Menge ist kompakt und abgeschlossen.
1) Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz.