Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

140 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
d. h. F ist in a stetig auf 91. Damit ist der Beweis von Satz VIII
beendet.
Aus Satz VIII entnehmen wir nun folgende Verallgemeinerung
von Satz VI:
Satz IX. Ist S3 ein Teil von 52, so ist, damit die auf e
gegebene Funktion f sich zu einer auf 9 stetigen Funktion
erweitern lasse, notwendig und hinreichend, daß in jedem
Punkte a von 3~.9W:
G(a; f, )=g (a; f, 5).
Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, nach Satz VI ist
sie sogar notwendig dafür, daß f sich zu einer auf S ~9 stetigen
Funktion erweitern lasse.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist sie erfüllt, so kann f
zunächst nach Satz VI erweitert werden zu einer auf 3~O 9 stetigen
Funktion, sodann, da 3o9f abgeschlossen in 92, nach Satz VIII zu
einer auf 9f stetigen Funktion.
Wir sprechen noch folgenden Spezialfall von Satz IX eigens aus'):
Satz X. Ist 58 abgeschlossen in X9, so kann jede auf e
stetige Funktion zu einer auf 9 stetigen erweitert werden.
~ 6. Stetige Abbildungen.
Wie wir in ~ 1 sahen, ist der Funktionsbegriff ein Spezialfall
des Abbildungsbegriffes. So wie unter den Funktionen die stetigen Funktionen, so nehmen unter den Abbildungen die stetigen
Abbildungen einen ausgezeichneten Platz ein. Die Sätze über stetige
Funktionen, die wir besprochen haben, sind großenteils nur Spezialfälle von Sätzen über stetige Abbildungen, mit denen wir uns nun
kurz befassen wollen.
Seien zwei metrische Räume Si und e gegeben2); sei 9 eine
Punktmenge von 9R, und sei jedem Punkte a von 91 ein Punkt b
von ( zugeordnet. Dadurch ist eine Abbildung A von 91 in den
Raum ( definiert. Den dem Punkte a zugeordneten Punkt von G
nennen wir (wie in Einleitung ~ 2, S. 5) das Bild von a (vermöge A)
und bezeichnen ihn mit A(a), jeden durch A auf einen gegebenen
Punkt b von ~ abgebildeten Punkt von 91 nennen wir ein Urbild
von b. Ist 92' ein Teil von 9, so bildet die Menge der Bilder A(a)
aller Punkte a von 91' eine Punktmenge 23' in @, die als das Bild
A(9') von 91' vermöge A bezeichnet wird. Ist 3-=A(91) das Bild
1) Einen sehr einfachen Beweis für diesen Satz werden wir in ~ 10, S. 166
angeben.
2) Sie können auch identisch sein.