Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 5. Erweiterung einer stetigen Funktion. 139
Zufolge der Definition (2) von ra' ist dann:
(9) < |.
Fiir alle außerhalb U (a; Q) liegenden Punkte b von B ist:
r(a',) > > 3 ra
und somit nach (3) und (4):
(1 0) fa(b)= O.
Für die in U (a; e) liegenden Punkte b von 5 aber ist, zufolge der
Definition (3) von h,, und wegen (8):
(11) ta, (b) < f(b)< f(a) -,
und wegen (10) und (11) ist, nach (5), auch:
(12) (a') G (fat ) _ f(a) e.
Gemäß der Definition (2) von ra' gibt es nun einen Punkt b'
von 5t, so daß:
(13) (ad', b')< 2,r,.
Zufolge (9) ist also:
r (a, b') <.
2'
und da a' in 1I a; lag, liegt b' in U(a; ), und aus (8) folgt
daher:
(14) f(b')>f(a)-e.
Bei Beachtung von (13) ergibt aber die Definition (4) von f,:
für (b')= f(bt);
ferner ist, nach (5):
(15) F( =G')= (tf, e) { > f(b'),
und aus (14) und (15) folgt für alle zu 2 -- 8 gehörigen a' aus
(16) F(') > f(a) - 8.
Zusammen mit (12) ergibt (16) für alle zu 9f - gehörigen a' aus
F(d) - f(ca)
Da aber nach (5) auf i3 F mit f übereinstimmt, gilt, bei Beachtung
von (8), für alle zu g gehörigen a' aus 1 (a; -:
F(a')- F(a) <,