Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 5. Erweiterung einer stetigen Funktion. 137
im Widerspruche mit dem Begriffe der gleichmäßigen Stetigkeit.
Damit ist Satz VII bewiesen.
Wir haben uns bisher mit der Erweiterung einer auf 53 gegebenen
stetigen Funktion zu einer auf 2f stetigen Funktion nur in dem
Falle befaßt, daß Q3 dicht in %9 ist. Wir behandeln nun den allgemeinen Fall. Zunächst gilt:
Satz VIII1). Ist 8 ein in 9 abgeschlossener Teil von 91,
und f eine Funktion auf 23, so gibt es auf 9 eine Funktion
F, die auf 'S mit f übereinstimmt, und stetig auf 9 ist in
allen Punkten von 91-2 3, sowie in allen denjenigen'Punkten
von,8, in denen f stetig ist auf 93.
Vermöge der Schränkungstransformation können wir annehmen
und indem wir weiter -l-(f-l1) statt f betrachten, können wir annehmen:
(1) O f~1.
Es wird also genügen, zu zeigen, daß jede auf 3 der Ungleichung
(1) genügende Funktion f zu einer die Forderungen von Satz VIII
erfüllenden und auf ganz 91 der Ungleichung (1) genügenden Funktion F
erweitert werden kann, da man von diesem Fall, indem man nun
umgekehrt F ersetzt durch 2 F- 1 und sodann die inverse Sechränkungstransformation ausübt, zum allgemeinen Fall zurückkehrt.
Wir setzen abkürzend:
(2) r,=r(a, 9).
Da 93 abgeschlossen in 91, ist für jeden Punkt
von 91- ':
r>ig. 2.
Jedem Punkte a von 91 -3 ordnen wir nun zunächst folgende (für
r > 0 definierte) Funktion der, reellen Veränd6rlichen r zu (Fig. 2):
1 in [0,2r r]
(3) a (r) linear in [2 r, 3 r,]
0 in [3r, +-cx);
sodann folgende auf 58 definierte Funktion des Punktes b:
(4) fa, =h A, (r ( )) b (b).
1):H. Tietze, J. f. Math. 145 (1914), 9. C. Carath6odory (nach H. Bohr),
Vorl. über reelle Funktionen, 617. L. E. J. Brouwer, Math. Ann. 79 (1918),
139. Ein besonders einfacher Beweis (während der Drucklegung erschienen):
F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 296.