Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

136 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
In der Tat, zu jedem p:
p > G (a; f, ) (= f(a))
gibt es nach ~ 2, Satz IV eine Umgebung U von a, so daß:
(f, u) <p.
In jedem Punkte von U91? ist daher:
G(a; f, 3)<p,
mithin wegen (**) auch:
(t) f<p.
Ebenso beweist man: zu jedem q:
q< g(a; f, 58)(= f(a))
gibt es eine Umgebung U1 von a, so daß in 11I:
(tt) f>q.
Aus (t) und (tt) aber folgt nach ~ 3, Satz IV, daß f in a stetig ist
auf W9, und Satz VI ist bewiesen.
Satz VII1). Ist $ ein in t dichter Teil von 1, so ist,
damit die auf -3 gegebene Funktion f sich zu einer auf 9
stetigen Funktion erweitern lasse, hinreichend2), daß f
gleichmäßig stetig sei auf 5.
Vermöge der Schränkungstransformation können wir annehmen,
f sei beschränkt auf 3. Nach Satz VI genügt es nachzuweisen, daß
in jedem Punkte a von 9:
G(a; f,) =g(a; f, ).
Angenommen, dies wäre nicht der Fall, so gibt es in 91 mindestens
ein a, so daß:
G(a; f, 3)> g(a; f, 1).
Nach ~2, Satz VI gibt es in S Punktfolgen {Üb'} und {b,"}, so daß:
lim b' = a; lim b' = a,
n= o n=ao
lim f(b')= G (a; f, S) lim f () = g (a; f, ).
n=ooa n-oO
Es wäre also gleichzeitig:
lim r (b', b") 0; lim [f(b) - f (b)] > 0,
1) S. Pincherle, Mem. Bol. (5) 3 (1893), 293. T. Broden, J. f. Math.
118 (1897), 3; Acta Univ. Lund. 8 (1897), 10. E. Steinitz, Math. Ann. 52
(1899), 59. Vgl. auch L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884), 294.
2) Ist 9 kompakt und abgeschlossen, so ist nach ~ 4, Satz IX die Bedingung
auch notwendig.