Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

134 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
In der Tat, da jede Konstante eine auf 2 stetige Funktion ist,
hat 9JY mindestens die Mächtigkeit c. Da 2f separabel ist, gibt
es einen in % dichten abzählbaren Teil von A9. Nach Satz II hat
also sIZ höchstens die Mächtigkeit cS= c (Einleitung ~ 7, Satz X).
Also hat Du genau die Mächtigkeit c, und Satz III ist bewiesen.
Bemerken wir noch, daß demzufolge auf jeder separablen Menge
der Mächtigkeit c, insbesondere also im ~9 die Menge aller Funktionen
höhere Mächtigkeit hat, als die aller stetigen Funktionen. In der
Tat, auf einer Menge der Mächtigkeit c hat die Menge aller Funktionen
die Mächtigkeit1)
cf-(2xo) — 2oc, — 2c;
die Menge aller auf einer separablen Menge stetigen Funktionen aber
hat nach Satz III die Mächtigkeit c, und nach Einleitung ~ 2,
Satz XII ist:
2c c.
Satz IV. Ist t ein in 9 dichter Teil von. i, und ist f
stetig auf 9, so ist:
(t) g (f, })=-g (f, b); G (f, A) =- G f, f ).
In der Tat, da -<(, ist:
(2) G (f, )< G(f, ).
Ist andererseits p irgendeine Zahl:
(3) p< G(f, x),
so gibt es ein a in 91, so daß:
(4) f(a) >p
Da e dicht in St, gibt es in S eine Punktfolge {b~}, so daß:
lim bb- a.
Wegen der Stetigkeit von f ist dann:
limn f(b,)= f (a).
Zufolge (4) ist also:
f(b) >p für fast alle n,
und daher auch:
G (f, 23)>>.
Da aber p eine beliebige, (3) genügende Zahl war, ist dann aruch:
(5) G (f, B3) _ G (, t).
1) Zur folgenden Gleichung vgl. Einleitung ~ 7, Satz V; ~ 2, Satz I;
~ 7, Satz VIII.