Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

132 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
Vermöge der Schränkungstransformation geniigt es, den Beweis
für beschränkte f zu führen. Angenommen, der Satz wäre nicht
richtig; dann gibt es ein e> 0 und eine Folge von Punktepaaren
a, a" (n = 1, 2,...) aus 91, für die:
(*) lim r (an', a,)=0 und ](f(a')- f(a,(\) > e.
n=co
Da 92 kompakt, hat die Folge {a,} einen Häufungspunkt a, und
da %9 abgeschlossen ist, gehört a zu 9/. In {a"'} gibt es eine Teilfolge {all} mit
lim an, -a,
und wegen der ersten Relation (*) ist auch:
lim a == a.
Wegen der Stetigkeit von f ist:
lim f (a') == f(a); lim f(a) f (a),
und somit:
lim [f(a',) - ( 0,
im Gegensatz zur zweiten Umgleichung (*). Damit ist Satz IX bewiesen..
Er kann sofort noch etwas erweitert werden:
Satz X. Ist 51' ein kompakter und abgeschlossener
Teil der beliebigen Menge 9i, und ist die auf %9 definierte
Funktion f in allen Punkten von 9f' endlich und stetig
auf t, so gibt es zu jedem e>0 ein p>O, so daß für alle./ von 21' und alle der Ungleichung r(a', a") <z genügenden
a us aus 91:
f (a')-f(a)<.
Der Beweis verläuft ebenso, wie für Satz IX, nur daß unter
{af'} nun eine Punktfolge aus 2t' zu verstehen ist.
Satz XI. Ist 9/' ein kompakter und abgeschlossener
Teil der beliebigen Menge 52, sind f1 und f2 definiert auf 9I,
stetig auf 52 in allen Punkten von 92', und ist fx+f2 auf 1',
so gibt es eine Umgebung U von 52' in 51, so daß auch
fl ==f2 auf U.
In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation können wir
f& und f2 als beschränkt annehmen. Es ist lf1-f21 stetig und
> 0 auf 51'. Also ist nach Satz II auch:
9 (d i - fe1 21) >