Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

130 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
Nach Satz VI ist 9S' und 21" abgeschlossen in., also nach Kap. I,
~ 2, Satz VI auch ihr Durchschnitt (. Damit ist Satz VII bewiesen.
Satz VlIII). Ist die Funktion f stetig auf der zusammenhängenden2) Menge 2t, und nimmt sie auf 21 die Werte c'
und c" an, so nimmt sie auf 92 auch jeden Wert c zwischen
d und c" an.
In der Tat, nach Satz VI ist sowohl die Menge 1' aller Punkte
von W1, in denen f> c, als auch die Menge 91" aller Punkte von 1i,
in denen f< c, abgeschlossen in 21. Nach Annahme ist weder SC'
noch 21" leer, und es ist:
Da 21 zusammenhängend, sind also 21' und 1" nicht fremd, d. h. 1'. 51"
ist nicht leer. In jedem Punkte von W'. 1" aber ist f=c, und
Satz VIII ist bewiesen.
Es sei eigens bemerkt, daß es auch nicht stetige Funktionen gibt, denen
die Eigenschaft von Satz VIII zukommt ). Ein sehr bekanntes Beispiel liefert
die Funktion f(x), die definiert ist durch:
f(x)==sin - für x+ 0; f(O)=O.
Weitergehend ist das folgende Beispiel4):
Wir gehen aus von der Bemerkung: Es gibt eine Menge der Mächtigkeit c
von Teilen des 9S, deren jeder dicht im ~9 ist, und deren je zwei fremd sind.
In der Tat, sei y eine beliebige reelle Zahl aus [0, 1). Wir entwickeln sie
in einen unendlichen Systembruch der Grundzahl 2
(1) y =0.e e2... e..... (e,==0, 1),
in dem unendlich viele Stellen 0 vorkommen. Nach Einleitung ~ 7, Satz IV
und II ist dies auf eine und nur eine Weise möglich. Sei sodann ein endlicher
1) Auch dieser Satz ist ein allgemeiner Grenzsatz; er wurde (für
Funktionen einer reellen Veränderlichen) zuerst bewiesen von B. Bolzano,
Rein analytischer Beweis usw. (1818), 12, 51 Ostwalds Klassiker Nr. 153, 8, 31.
2) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden; denn ist 1 nicht zusammenhängend:
=1 w1' + S 1" (21', 21" abgeschlossen in 21),
so setze man:
f=-0 auf 1', f==1 auf 1i".
Dann ist nach Satz VI f stetig auf 21 und nimmt keinen Wert zwischen
0 und 1 an.
3) Dies wurde betont von G. Darboux, Ann. Ec. Norm. (2) 4 (1875), 109.
4) H. Lebesgue, Le9ons sur l'int6gration (1904) 105. Vgl. auch E. Ceaaro, Bull. sei. math. (2) 21 (1897), 258. W. H. Young, Rend. Pal. 24
(1907), 187; Mess. of math. (2) 39 (1909), 69. F. Apt, Arch. d. Math. (3) 20
(1912), 189.