Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 4. Stetigkeit auf einer Punktmenge. 129
Satz VI1). Damit f stetig sei auf 92, ist notwendig und
hinreichend, daß für jedes2) c sowohl die Menge aller
Punkte von 91, in denen f c, als auch die Menge aller
Punkte von 91, in denen f<c ist, abgeschlossen sei in 91.
Die Bedingung ist notwendig. In der Tat, sei f stetig auf 9,
und sei 9' die Menge aller Punkte von 91, in denen f>c und 9'
die Menge aller Punkte von 91, in denen f c. Sei a ein zu 9i gehöriger Häufungspunkt von 92'. Es gibt in 9' eine Folge {a"} mit
limr a - a. Wegen der Stetigkeit von f ist:
(*) f (a) limf (a).
Da nach Annahme:
f (a,) >c für alle n,
so ist nach (*) auch
f (a) c,
d. h. a gehörtb zu 91'. Also ist -. 91 abgeschlossen in W, wie behauptet.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat,
f sei nicht stetig auf 91. Ist etwa a ein Punkt von 9, in dem f
nicht stetig ist auf 91, so gibt es in 9 eine Punktfolge {a,} mit
lima n=-a, so daß nicht limf(a^,) f(a) gilt. Es gibt also sei es
'=oo n= oo
ein p< f(a), sei es ein q> f(a), so daß für unendlich viele n:
f (a) <p bzw. f(a()~q.
Für c-=p (bzw. q)3) ist nun im ersten Falle a Häufungspunkt von
9l", ohne zu 9" zu gehören, im zweiten Falle Häufungspunkt von 91',
ohne zu 92' zu gehören. Mindestens eine der beiden Mengen 9',
91' ist also picht abgeschlossen in 91, und Satz VI ist bewiesen,
Satz VII. Ist f stetig auf 92, so ist für jedes c die
MengeallerPunktevon 9, in denenf==c ist, abgeschlossen
in 914).
Sei in der Tat ( diese Menge. Haben 9', 91' dieselbe Bedeutung, wie beim Beweise von Satz VI, so ist:
_______ -9=1'. 91".
1) Auch dieser Satz ist ein allgemeiner Grenzsatz.
2) Statt dessen kann es auch heißen: für eine (im 9l,) überall dichte
Menge von Zahlen c.
3) Ebenso für jedes der Ungleichung
p c<f(a) (bzw. f (a)<c_ q)
genügende c.
4) Diese Eigenschaft ist offenbar nicht hinreichend für die Stetigkeit
von f. Beispie: Sei 9 das Intervall [0, 1] des 91, und f(x)==x in (0, 1),
f(0)=, f(l)=0.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 9