Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 4. Stetigkeit auf einer Punktmenge. 127
mithin auch:
(ttt) f(a,)> q für fast alle n.
Die Ungleichungen (tt) und (ttt) aber besagen:
lim f (a) f(a),
d. h. f ist stetig in a auf 9. Damit ist Satz VIII bewiesen').
~ 4. Stetigkeit auf einer Punktmenge.
Ist die auf der Punktmenge 9 des metrischen Raumes 91 definierte Funktion f in jedem Punkte a von 91 stetig auf 9, so heißt
sie kurz: stetig auf 91. Beispiele stetiger Funktionen2) liefert uns
der Satz:
Satz I. Der Abstand r(a, a) des Punktes a von einem
festen Punkte a, ebenso der Abstand r(a, 9) des Punktes a
von einer festen Menge 91 ist eine in ganz 91 (und mithin
auf jeder Punktmenge 91) stetige Funktion von a.
In der Tat, wegen der Dreiecksungleichung, bzw. nach Kap. I,
~ 1, Satz IV ist:
Ir (a, a)-(a, - ) r (a,, a ),
Ir(a., A )-r(a, )|r I <(a., a).
Aus lim a =a folgt also:
in= oo
limr(a" a) (a, (a, ); lim r (a, )=r(a, ),
n-X o n- oodas aber ist die in Satz I behauptete Stetigkeit von r(a, a) und
r(a, W).
Satz II3). Ist 91 kompakt und abgeschlossen, und ist
f stetig auf 91, so gibt es in 91 Punkte a' und a", so daß
(*) f(a') = G (f, ); f(a")= g (f, 9).
In der Tat, nach ~ 2, Satz IX gibt es in 9~O einen Punkt a',
so daß
1) Wie der Beweis zeigt, ist Satz VIII ein allgemeiner Grenzsatz.
2) Vgl. hierzu H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 247.
3) Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz. Er dürfte (für Funktionen einer
reellen Veränderlichen) zuerst von Weie rstraß in seinen Vorlesungen bewiesen
worden sein. Man überzeugt sich leicht, daß die Bedingungen, 91 sei kompakt und abgeschlossen, nicht entbehrt werden können. Näheres hierüber:
M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 31 und H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19
(1908), 255.