Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. II, ~ 2. Obere und untere Schrankenfunktion. 121
(***) g (f, U')>p; G(f, u") < q.
Wir setzen:
u = ' 11211".
Da dann U-<U' und 11-<(U", ist offenbar:
g(f, 1I)g(f, II'); G(f, u)~G(f, 1").
Also folgt (*) aus (***).
Ist sodann z< G (a; f, 92), so ist, da G (a; f, 2) untere Schranke
aller G(f, U), für jede Umgebung 11 von a in 9f:
z < G (f, t).
Nach Definition von G (f,.1U) gibt es also in 11 einen Punkt a', für
den (**) gilt.
Da es andrerseits nur eine einzige Zahl G(a; f, 92) [ebenso nur
eine einzige Zahl g (a; f, 91)] geben kann, der die beiden Eigenschaften
von Satz VII zukommen, so ist Satz VII vollständig bewiesen.
Sei f eine auf der Punktmenge 91 definierte Funktion, 9o~ die
abgeschlossene Hülle von 91. In jedem Punkte a von 9IO sind nun
obere und untere Schranke G (a; f, 92), g (a; f, 91) von f definiert; diese
Ausdrücke sind also Funktionen, die auf 90~ definiert sind. Sie
heißen: obere und untere Schrankenfunktion von f auf 91.
In Analogie zu Einleitung ~ 6, Satz VII gilt:
Satz VIII. Sind fl, f2, f 4 f, definiert auf 91, so gelten
in allen Punkten von 91o die Ungleichungen (vorausgesetzt,
daß die darin auftretenden Ausdrücke einen Sinn haben):
(1); (a,;f, - G(a;, )G(a; f +,
(2) g(a; f', f)+g(a; f,, )a.g (a;f, +-f, f2)
g (a; f, 91)+ G(a; f,, ).
Es wird genügen, die Ungleichung (1) zu beweisen. Habe {tIl
die Bedeutung von Satz V, so daß:
G(a; {\, )= lim G (, U,); G(a; f, ")=lim G-(f, U,);
g (a; &, 9=lim g (/(, 1U,);
(4) G (a; +s t — f ), 2)-im G(f+ + -,!Ien).
Nun ist offtenbar:
(5) g (fi, u,)+ s (:,, un) < G (fi + f2), Ul)< C (/i, UJ) -+F C (t, Un),
vorausgesetzt, daß die hierin auftretenden Summen einen Sinn haben;
dies aber ist (für fast alle in) sicher dann der Fall, wenn die in (1)