Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

120 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
Nach Definition von G (a; f, 9) ist also:
(9) G(a; f, )ry.
Aus (5) und (9) aber folgt:
(10) G(a;f,9)=y.
Durch (10) und (1) aber sind Satz IV und V bewiesen.
Wir merken noch an, daß aus dem geführten Beweise folgt:
Satz VI. Es gibt in 91 Punktfolgen {an} und {a'}, so daß:
(1) rlim a', a; lim f (a') - G (a; f, 9).
n=a o l= CO
(tt) lim an a; lim f(a')= g(a; f, 9).
n= Co n = co
In der Tat, sei {1U} eine Folge von Umgebungen von a in 9,
die sich auf a zusammenzieht (z. B. die Umgebungen 1 (a; -)
von a in 91). In U1 gibt es einen Punkt an, für den (6) gilt. Die
Beziehungen (7) und (8) aber sind nichts anderes als (t), und analog
beweist man (tt).
Man kann auch die in Satz IV ausgesprochene Eigenschaft zur
Definition von G (a;, f, ) verwenden. Da dabei der Umgebungsbegriff
(nicht aber der Abstandsbegriff) zur Verwendung kommt, können wir
diese Definition als die topologische bezeichnen. Es ergeben sich
aus ihr folgende charakteristische Eigenschaften der Zahlen G (a; f, 91)
und g(a; f, 9):
Satz YII. Die Zahlen g(a; f, 91) und G(a; f, 9) sind charakterisiert durch die beiden Eigenschaften:
1. Ist
p<g(a; f, ); q>G(a; f, 9),
so gibt es eine Umgebung 1 von a in 9, so daßl):
(*) <g (f, t) G (f, U)<q.
2. Ist
< G (a; f, 9) [bzw. z> g(a; f, 9)],
so gibt es in jeder Umgebung U(a) einen Punkt a' von 9t,
so daß:
(**) f(a')>z [bzw. f(a')<z].
In der Tat, zunächst gibt es, da nach Satz IV G (a; f, 92) die
untere Schranke aller G (f, U) und ebenso g (a; f, 91) die obere Schranke
aller g(f, U), zwei Umgebungen 11' und 11" von a in 91, so daß:
1) Ist eine der Zahlen g (a; f, 91), G(a; f, 9) unendlich, so kommt nur
die eine Hälfte der folgenden Ungleichung in Betracht.