Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

118 Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen.
In der Tat, sei { a, irgendeine Punktfolge aus 9 mit lim an =a;
wegen:
) (f, ' f)) <= o G(f, )
ist auch:
lim f (aj g (f, 9); lim f (aj) G (f, 9);
n=oo n==
also wegen der Definition von g (a; Xf, ) und G (a; f, auch:
(000) g (a;f,~g(f, 9/); G (a; f, 9) G (f, ).
Ferner folgt aus der Definition von g (a; f, l1) und G (a; f, ):
(000) g (a; f, ) 5 lim f(a) lim f(aj) (a; f, a );
durch (0O0) und (000) aber ist (0) bewiesen.
Ist insbesondere a Punkt von 9(, so kann man setzen: a,-=a.
Dann wird in (000):
lim f (a, iim f (a) = f (a),
n=-o n=co
womit (00) bewiesen ist.
In einem isolierten Punkte von 9/ ist offenbar:
G (a; f, 91)-=g (a; f, 2f)=-f(a).
Aus ~ 1, Satz I und II folgt nun sofort:
Satz III. Wird die Funktion f durch die Schränkungstransformation übergeführt in f*, so werden G(a; f, X2) und
g(a; f, 9t) durch die Schränkungstransformation übergeführt
in G(a; f*, ) und g(a; f*, 9i).
Gebrauch machend vom Begriffe der Umgebung in % eines Punktes
(Kap. I, ~ 3, S. 66) wollen wir nun die beiden Sätze beweisen'):
Satz IV. Die obere Schranke G(a, f, 9) ist nichts anderes
als die untere Schranke der Menge der Zahlen G(f, U) für
alle möglichen Umgebungen U von a in 91.
Satz V. Für jede Folge {U~} von Umgebungen von a in 91,
die sich auf a zusammenzieht (Kap. I, ~ 3, S. 68), gilt:
lim G (f, tn)= G(a; f, 9).
Beim Beweise können wir ohne weiteres annehmen, f sei b eschränkt, da wir andernfalls unter Berufung auf Satz I und III
von ~ 1 und auf Satz III zunächst auf f die Schränkungstransformation ausüben können.
1) Analoge Sätze gelten für g (a, f, 9).