Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

110 Punktnmengen.
natürlichen Reihenfolge. Nach Satz I ist 9)1 abzählbar. In 9SD kann
es kein erstes und kein letztes Intervall geben. Denn angenommen
(a, b) wäre erstes Intervall von 9)I, so müßte (- oo, a) auch punktfreies Intervall von 9. sein (da andernfalls 91 nicht nirgends dicht
wäre); dann aber ist a isolierter Punkt von 91, und mithin wäre 91
nicht perfekt. Ferner gibt es in D9 zwischen je zwei Intervallen
(a', b') und (a", b") ein drittes; denn würden (a', b') und (a", b") unmittelbar aufeinanderfolgen, so müßte b'= a" sein (da 9/ sonst das
Intervall [b', a"] enthielte, und somit nicht nirgends dicht wäre);
dann aber ist b'= a" ein isolierter Punkt von 91, und 9 wäre
nicht perfekt. Also hat nach Einleitung ~ 3, Satz I 9 den Ordnungstypus O.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn ist f9 nicht perfekt,
so gibt es in %1 einen isolierten Punkt, in dem notwendig zwei
punktfreie Intervalle von 91 zusammenstoßen; sind sie beide endlich,
so sind sie, unmittelbar aufeinanderfolgende Intervalle von 9)1. Ist
eines unendlich, so ist das andere erstes oder letztes Intervall von
J1. Keinesfalls also kann 93l den Ordnungstypus? haben. Damit
ist Satz II bewiesen.
Dieser Satz liefert ein Verfahren zur Konstruktion nirgends
dichter perfekter Punktmengen des 9il das mit dem beim Beweis
von ~ 8, Satz VIII benützten- Verfahren nahe verwandt ist. Wir
geben dafür folgendes Beispiel'):
Wir betrachten Systembrüche der Grundzahl 3 (Einleitung ~ 7,
S. 44). Sei 9) die abzählbare Menge der (zu je zweien fremden)
Intervalle:
(eo.el e... e1,, eo' e e..e2) (k- 0, 1,2,...),
in denen keine der Stellen e, e2,..., e den Wert 1 hat. In natürlicher Reihenfolge gibt es unter ihnen kein erstes, und zwischen je
zweien von ihnen liegt stets ein drittes, also haben sie (Einleitung
~ 3, Satz I) den Ordnungstypus Z. Ihre Vereinigung ist offen, ihr
Komplement 91 zum r9, daher abgeschlossen. 9 ist aber auch nirgends
dicht. Denn andernfalls gäbe es ein Intervall 3, in dem 91 dicht,
und weil f9 abgeschlossen, müßte 91 (~ 4, Satz X) alle Punkte von
3 enthalten, was unmöglich, da 9 keinen Punkt e. e, ee..e.ek+l
enthält, in dem eine der Stellen e,, e,..., e den Wert 1 hat, und
ek+l + 0 ist. Also ist nach Satz II 91 eine nirgends dichte perfekte
Menge. Sie besteht aus allen Punkten, die durch einen unendlichen
1) Es rührt her von G. Cantor. Durch ähnliche Abbildung kann man
daraus sofort perfekte Mengen bilden, die in einem gegebenen Intervalle [a, b]
nirgends dicht sind.