Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 9. Lineare abgeschlossene Mengen. 109
Satz XVI. Jede nicht leere, in einer relativ-vollständigen
Me.nge 93 offene Menge (E (insbesondere also 23 selbst) ist
von zweiter Kategorie in 93.
Sei in der Tat C1 ein Teil erster Kategorie in 93. Nach Satz XV
ist 23- X1 dicht in B. Es gibt also in der in 93 offenen Menge (5
gewiß einen Punkt von e3 - S; daher kann nicht = 91 sein, und
Satz XVI ist bewiesen.
Satz XVII. Ist die (nicht leere) Menge 3 relativ-vollständig, und ist S1 von erster Kategorie in 93, so ist S3-I919
von zweiter Kategorie in 3.
In der Tat, wäre e - 913 von erster Kategorie in 3, so wäre
nach ~ 4, Satz XX auch:
33 5133+(3 -913)
von erster Kategorie in 3, entgegen Satz XVI.
~ 9. Lineare abgeschlossene Mengen.
Wir wollen uns noch speziell mit den- abgeschlossenen Punktmengen des 91 beschäftigen.
Satz I. Jede abgeschlossene Menge 91 des 91 ist Komplement einer Summe abzählbar vieler offener Intervalle.
In der Tat, jede abgeschlossene Menge ist Komplement einer
offenen Menge, so daß die Behauptung aus ~ 7, Satz IX folgt.
Wir nennen die abzählbar vielen offenen Intervalle, deren Summe
das Komplement von 9I ist, die zu 91 gehörigen punktfreien Intervalle, oder die zu 9S komplementären Intervalle; ihren
Durchschnitt mit einem beliebigen Intervalle 3 nennen wir die punktfreien Intervalle von 91 in 3, oder die bezüglich 3 zu 91 komplementären Intervalle.
Sagen wir noch von einer Menge zu je zweien fremder Intervalle des 91, sie seien in natürlicher Reihenfolge, wenn ihre Anfangspunkte in natürlicher Reihenfolge sind:
(a', ') vor (a", b") wenn a'< a",
so gilt:
Satz II. Damit eine abgeschlossene, nirgends dichte
Menge 91 des 91 perfekt sei, ist notwendig und hinreichend,
daß die Menge der endlichen unter den punktfreien Intervallen von 1 in ihrer natürlichen Reihenfolge den Ordnungstypus y (Einleitung ~ 3, S. 14) habe.
Die Bedingung ist notwendig. Sei in der Tat 9 perfekt, und
R die Menge der endlichen punktfreien Intervalle von 91 in der