Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

108 Punktmengen.
Sei zu dem Zwecke ( irgendeine offene Punktmenge, derart
daß (S 2 nicht leer ist. Es genügt zu zeigen, daß es in ( S3 einen
Punkt von 23' gibt.
Da f/~ nirgends dicht in 93, gibt es in I8 2 einen nicht zu 21
gehörigen Punkt von 23, d. h. einen Punkt b, von 38 (Cg. Sodann
gibt es ein Q,:
0 K e< ~ 2,
so daß U(b,; e,) sowohl n ( als in (, liegt. Ebenso gibt es in
U(b,;,1) einen Punkt bo von 3 (s, und ein e:
0<^^
so daß U (b2; e2) sowohl in 2 als in L (bl; 2,) liegt usw. Wir
erhalten so eine Punktfolge {b,} aus 23, die offenbar eine Cauchysche
Folge ist. Ihr zu 28 gehöriger Grenzpunkt gehört allen U(b,; QJ) an,
liegt mithin sowohl in (, als in jedem 23,, er ist also ein zu 83'
gehöriger Punkt von 93 (, wie behauptet. Damit ist Satz XIV bewiesen.
Wir wollen nun eine Menge relativ-vollständig nennen, wenn
sie ein o-Durchschnitt in einer vollständigen Menge ist. Da jede
Menge 23 in 3 offen, und mithin auch ein o-Durchschnitt in 23 ist,
so ist jede vollständige Menge auch relativ-vollständig.
Satz XV1). Die Aussage von Satz XIV bleibt bestehen,
wenn 23 nur relativ-vollständig ist.
Wie beim Beweise von Satz XIV können wir annehmen n2 -< 8.
Sei 3 ein o-Durchschnitt in der vollständigen Menge 93. Dann ist
30-< 3, und mithin ist nach Satz III auch 3~ vollständig. Nach
~ 2, Satz X ist 23~- 3 eine a-Vereinigung, etwa:
23 ~- 23 1 +, 2 * * 4+ ö + *. * (An abgeschlossen).
Es ist S9, nirgends dicht in 30~. Denn andernfalls gäbe es eine
offene Menge C, so daß 23 ( nicht leer und 21n dicht in 3o0.
Nach ~ 4, Satz X wäre dann 82 ~S-<1,, und mithin fremd zu 23,
entgegen der Definition von 23~. Da 21 nirgends dicht in 23~, ist
also 23~-23 von erster Kategorie in 30~. Da auch 2 von erster
Kategorie in 2 und mithin in 83~, so ist nach ~ 4, Satz XX auch
2 +(3 ~- 3) von erster Kategorie in 3~0; also hat nach Satz XIV
0~- -(3~ - 3)= 3S - einen o-Durchschnitt in 30 zum Teil,
der dicht in 230 ist, d. h. einen o-Durchschnitt in 23, der dicht in
2 ist, und Satz XV ist bewiesen.
1) F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 327.