Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 8. Vollständige Mengen. 107
Menge? ist identisch mit der Menge 92* ihrer Kondensationspunkte.
In der Tat, da 9 abgeschlossen, und da jeder Kondensationspunkt auch Häufungspunkt, so ist:
(t') 1 *< 9.
Sei sodann a ein Punkt von 91 und U (a) eine beliebige Umgebung von a. Nach ~ 4, Satz II ist ebenso wie 91 auch 9W.U(a) insichdicht. Es ist also 9.Ui(a) ein o-Durchschnitt in 91, dessen insichdichter "Kern nicht leer ist. Nach Satz IX hat also 9. -l(a) die
Mächtigkeit c, d. h. a ist Kondensationspunkt von 91. Und da a
ein beliebiger Punkt von 91 war, ist:
(tf') 9<9*
Aus (-) und (it) aber folgt - =9*, und Satz XIII ist bewiesen.
Satz XIV1). Ist 9 von erster Kategorie (~ 4, S. 81) in der
vollständigen Menge 3, so hat S — 913 einen o-Durchschnitt
in 3 zumi Teil, der in S3 dicht ist.
In der Tat, indem wir nötigenfalls 91 durch 923 ersetzen,
können wir annehmen, es sei 2 -<. Da 9I von erster Kategorie
in 93, so ist:
V( = ~w +St-), +~ ) ~ ~ - -+ g n +
wo jedes 91( nirgends dicht in 93. Nach ~ 4, Satz XXI können wir
annehmen:
~n -<91 +
Dann ist auch:
( ) 0~< w O
und nach ~ 4, Satz XV ist auch 9^~ nirgends dicht in 9. Wir
setzen:
dann ist ~j. offen; wegen (*) ist:
~n > Ln+i
und es ist:
wo die rechts stehende Menge:
8 ' - ( — ~8 ~ 6... *...
ein o - Durchschnitt in f ist. Bleibt zu zeigen, daß er dicht in
8 ist.
~) Dieser und die folgenden Sätze stamrmen im wesentlichen von R. Bair e,
Ann. di mat. (3) 3 (1899), 65.