Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 8. Vollständige Mengen. 105
2A= l 2.';. l
und mithin gilt auch (**). Für fast alle r liegt also der x, zugeordnete Punkt a-. a( /?'),. () in U (ai, 2,n, n), worin
auch der x zugeordnete Punkt a =- ail,....il,... liegt. Es ist also,
da p < o war:
r (a, a")~2 Q,<-" für fast alle ~,
und da dies für jedes n gilt, ist:
lim r (a, a")- 0, d.h. lim a= a.
Y = 00 ~ - - =
Es ist also auch die Abbildung von 9N auf Z stetig, und Satz VII
ist bewiesen.'
Satz VIII. Die perfekte Menge Q( von Satz VI kann als'
nirgends dicht in!8 angenommen werden.
Um dies einzusehen, ändern wir den Beweis von Satz VI in
folgender Weise ab: Wir gehen statt von zwei nun von drei Punkten
a, a2, von S aus und bilden, ganz wie beim Beweise von Satz VI,
zu jedem von ihnen eine Umgebung U(a,;,o,) (i = 0, 1, 2). Allgemein werden beim n - ten Schritte in I (at, i-.,,-; -I) drei
Punkte a,,i,2...,_-1,o i, ai,,iin-, ii.2...,in-, 2 gewählt und
zu ihnen Umgebungen 11 (ati, i..,,;,) gebildet, die dieselben Eigenschaften haben, wie beim Beweise von Satz VI, nur daß nun i, i,.., i
die drei Werte 0, 1, 2 haben können.
Mit 1U bezeichnen wir nun die Vereinigung derjenigen
^ ('ai2, in....; ), in deren Ziffernfolge i,, i2,..., in keine 1 vorkommt.
Setze n wir wieder
-- ~.n n1~,...,,...,
so erkennen wir wie früher'), daß C ein perfekter Teil von e ist.
Wir haben nur noch zu zeigen, daß b.; nirgends dicht in 93 ist.
Sei zu dem Zwecke a at,.i.... i... irgendein Punkt von L
und 1U eine Umgebung von a. Es gibt dann ein %n, so daß:
(al, i2.....%,o^0) -,
und infolgedessen auch
1) Nur haben jetzt in (0) und ebenso in (000) die die Were und 2.
1) Nur haben jetzt in (0) und ebenso in (000) die i,, die Werte 0 und 2.