Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 8. Vollständige Mengen. 103
bestehend aus den Ziffern 0, 1:
(0) q, 2...., ( =O, )
zugeordnet ist. Umgekehrt entspricht jeder solchen Ziffernfolge ein
und nur ein Punkt von (. Denn zunächst liefert uns (0) eine
Punktfolge aus A:
(00) ail, aii,,..., al,, i2... i
Sie ist eine Cauchysche Folge; denn wegen Eigenschaft 3. der U
liegen für n'n > alle Punkte der Folge (00) in U (ai,,..,,^;,n),
es ist also:
r (a.il i2.., i,, al, i2..., i) < e _ 2 fir n' >:.
Weil 9f vollständig, hat also die Folge (00) einen zu f gehörigen
Grenzpunkt, der - weil zu allen U, gehörig - auch zu ( gehört.
Wie aus Eigenschaft 1. der U folgt, liefern verschiedene Folgen (0)
auch verschiedene Punkte von (. Die Punkte von ( können also in
eineindeutiger Weise den Ziffernfolgen (0) zugeordnet, und daher durch
(000). ii.i,,,. (i = 0,1)
bezeichnet werden.
Sei 11 irgendeine Umgebung des Punktes (000). Für fast alle n
(z. B. für?n ~ nO) ist:
11 (a,2,...,; ) -< lt.
Also enthält 11 alle Punkte von (, deren no erste Indizes mit denen
von (000) übereinstimmen; also ist ~ insichdicht und mithin, weil
abgeschlossen, auch perfekt.
Da ferner zwischen den Folgen (0) und den Punkten von (
eine eineindeutige Zuordnung besteht, die Menge der Folgen (0) aber
(d. h. die Menge aller Belegungen der natürlichen Zahlen mit den
Ziffern 0, 1) die Mächtigkeit 2No= c hat (Einleitung ~ 7, Satz V), so
hat auch E die Mächtigkeit c. Damit ist Satz VI bewiesen.
Wir wollen, um eine kurze Bezeichnung zu haben, die Menge
aller derjenigen Punkte (000) von (, in denen nicht fast alle i,
den Wert 0 oder fast alle in den Wert 1 haben, als den Hauptteil
von i bezeichnen. Dann gilt:
Satz VII. Wird jedem Punkte ai, s...t...des Hauptteiles T der Menge 6 von Satz VI die Zahl
zugeordnet, so ist dies eine eineindeutige Abbildung von T