Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

100 Punktmengen.
Ist e> 0 beliebig gegeben, so ist
r(a1, a)< für fast alle n,
2
also, wegen der Dreiecksungleichung:
r (a"t, an") r (an', a) + r (a"" a) <
für fast alle n' und fast alle n". Das aber ist gleichbedeutend mit (0),
und Satz I ist bewiesen.
Die Umkehrung von Satz I gilt nicht allgemein. Sei z. B. 9t
die Menge aller Punkte x > 0 des 9i. Dann ist die Folge l-1"
eine auchysche Folge, ohne einen Grenzpunkt in Si zu besitzen.
Eine Punktmenge 9 heißt vollständig1), wenn jede Cauchysche
Folge {%, } aus 91 einen zu 1 gehörigen Grenzpunkt besitzt. Aus
dieser Definition folgt sofort:
Satz II. Jede vollständige Menge ist abgeschlossen.
In der Tat, ist 91 nicht abgeschlossen, so gibt es in 91 eine
Folge {a}, so daß
lim a, -= a
n=oo
nicht zu 9 gehört. Nach Satz I ist {a} eine C auchysche Folge;
sie besitzt zwar einen Grenzpunkt, aber er gehört nicht zu 91. Also
ist 91 nicht vollständig.
Satz III. Jeder abgeschlossene Teil einer vollständigen
Menge ist vollständig.
Satz IV. Jede abgeschlossene und kompakte Menge 91
ist vollständig.
Sei in der Tat {c,} eine Cauchysche Folge aus 91. Weil 91
kompakt, gibt es eine Teilfolge {aj } mit Grenzpunkt:
(*) limav -= a.
1' = 00
Weil 91 abgeschlossen, gehört a zu 1. Weil {as} eine C au chysche
Folge, gibt es, wenn e> 0 beliebig gegeben, ein n, so daß:
(**) r(ana~')<2 für n>n, n'>i.
Wegen (*) gibt es ein n, so da.
Wegen (*) gibt es ein n> n,- so ldaß:
(***) (a", a) <
1) Dieser Begriff wurde eingeführt, von M. Ei'rchet, Rend. Pal. 22 (1906),
23'; der Name stammt von F. Hausdorff, Gru-ndz. d. Mengenlehre, 315.