Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 7. Separable Mengen. 97
Satz XIV. Eine nicht abzählbare, separable Menge 5
enthält mindestens einen ihrer Kondensationspunkte.
Angenommen in der Tat, kein Punkt von 52 wäre Kondensationspunkt von 91. Zu jedem Punkte von a gibt es dann eine Umgebung
1(a), so daß U1(a).* abzählbar. Nach dem verallgemeinerten Borelschen Theorem (~ 6, Satz IV) gibt es unter den Mengen U (a). 91 abzählbar viele, deren Vereinigung 1 ist. Also wäre r1 abzählbar,
gegen die Annahme. Damit ist Satz XIV bewiesen.
Aus diesem Satze fließen viele wichtige Folgerungen. Vor allem
können wir nun Satz V und VI von ~ 6 in folgender Weise ergänzen:
Satz XV. Damit eine nicht abzählbare Menge r1 separabel sei, ist notwendig und hinreichend, daß jeder nicht
abzählbare Teil von 9 einen Kondensationspunkt besitze.
Die Bedingung ist notwendig; dies ist enthalten in der Behauptung von Satz XIV.
Die Bedingung ist hinreichend; dies ist enthalten in der Behauptung von Satz V, ~ 6.
Satz XVI. Ist 59* die Menge aller Kondensationspunkte
der separablen Menge 91, so ist jeder Punkt von 92* auch
Kondensationspunkt von 9519*.
Sei in der Tat a ein Punkt von 91*, d. h. ein Kondensationspunkt von 91. Wäre er nicht Kondensationspunkt von 9191*, so gäbe
es eine Umgebung 11(a), so daß 1 (a). 9-9* abzählbar. Nach Satz XIV
ist die Menge:
U(a). 5- (a)).55lw*
abzählbar, weil sie keinen ihrer Kondensationspunkte enthält. Also
wäre auch:
u (a) * = U(a) x * + (U1(a). 1 - 11(a) * 11*)
abzählbar, entgegen der Annahme, daß a Kondensationspunkt von 91.
Damit ist Satz XVI bewiesen.
Daraus folgt sofort:
Satz XVII. Ist 9* die Menge aller Kondensationspunkte
der separablen Menge 51, so ist sowohl 59* als 9195* insichdicht.
Und da 91* abgeschlossen ist (~ 3, Satz IX):
Satz XVIII. Die Menge aller Kondensationspunkte einer
separablen Menge ist perfekt.
Wir knüpfen an den in ~ 4, S. 76 eingeführten Begriff des
insichdichten Kernes und der separierten Mengen an.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 7