Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

96 Punktmengen.
eine in 2 dichte abzählbare Punktmenge. Die Menge der Umgebungen:
(*) U L(an;V) (n, v =1,2,...)
ist dann ebenfalls abzählbar.
Wir betrachten zunächst den Fall:
faC< 1aJTC' wenn a < a'.
Es gibt dann in 91a+i einen nicht in?9a enthaltenen Punkt a. Da
Sf, abgeschlossen, gibt es eine zu 2f fremde Umgebung U(a) und mithin unter den Mengen (*) eine, die a enthält und zu gS, fremd ist,
etwa U1 (a;-). Dann ist notwendig
(**) U +n(ana;-) + U,; ) wenn a >a;
denn es ist 1 (an,; ) fremd zu- 2a+i, während U( ana;-) den
a V!/\ a Va
Punkt a von 9,a+i enthält. Da es aber nur abzählbar viele Mengen
(*) gibt, kann es auch nur abzählbar viele Mengen Wa geben, wie
behauptet.
Betrachten wir sodann den Fall:
Wa >- fa' wenn a < cc'.
Es gibt dann in 9,/ einen nicht in 2fa+i enthaltenen Punkt a, und
daher in (*) eine Menge U (ana;, die ca enthält und zu 1a+~ fremd
ist. Wieder gilt (**), da U (a"n; ) zu 9a, fremd ist, während
(an,,; -) einen Punkt von,', und mithin von 9Ia+ enthält. Im
übrigen schließt man, wie vorhin. Damit ist Satz XII bewiesen.
Satz XIII. Sei t separabel; dann ist jede wohlgeordnete
Menge M in 9C offener Mengen, deren jede echter Teil aller
folgenden (vorhergehenden) ist, abzählbar.
In der Tat, sind wieder 2,a die Mengen von M, und setzt man:
Oa- - - f a i
so bilden die S33 eine wohlgeordnete Menge N in 91 abgeschlossener
Mengen, deren jede echter Teil aller vorhergehenden (folgenden)
ist. Wegen Satz XII muß N abzählbar sein, daher auch M, wie
behauptet.
In separablen Mengen gelten einige wichtige Sätze über Kondensationspunkte (~ 3, S. 69).