Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. I, ~ 7. Separable Mengen. 93
gibt es dann eine Umgebung U (a), die - außer etwa a selbst -
keinen Punkt von 33 enthält. Jeder Punkt von 33 kommt dann nur
in einem einzigen I (a) vor. Es kann daher nicht unter diesen U (a)
abzählbar viele geben, deren Vereinigung e enthält, und um so mehr
~gilt dies von 91.
Wir können noch Satz V umkehren:
Satz VI. Ist 91 separabel, so hat jeder nicht abzählbare
Teil von 9/ mindestens einen Häufungspunkt.
Angenommen in der Tat, es gebe in 91 einen nicht abzählbaren
Teil 23 ohne Häufungspunkt. Zu jedem a von 9 gibt es dann eine
Umgebung U (a), die - außer etwa a selbst - keinen Punkt von
3 enthält. Weil 91 separabel, müßte es nach Satz III unter diesen
t (a) abzählbar viele geben, in deren Vereinigung 3 enthalten ist.
Wie wir eben vorhin sahen, ist das aber nicht der Fall. Unsere
Annahme führt also auf einen Widerspruch, und Satz VI ist bewiesen.
~ 7. Separable Mengen.
Wir müssen nun zunächst die separablen Mengen (S. 90) näher
untersuchen.
Satz I. Die Mächtigkeit einer separablen Menge ist < c.
In der Tat, ist:
(0) a, an,...,...
ein in 91 dichter abzählbarer Teil von 91, so gibt es zu jedem
Punkte a von 9 in (0) eine Folge {a, ~}, so daß:
lim a,- a.
a,= co
Da nun die Menge aller Teilfolgen {a, } von {a,} die Mächtigkeit c
hat (Einleitung ~ 7, Satz V, Fußn. 2), so hat die Menge aller a
höchstens die Mächtigkeit c, und Satz I ist bewiesen.
Satz II. Jeder Teil 93 einer separablen Menge 91 ist
separabel.
Angenommen in der Tat, S3 wäre nicht separabel. Dann gibt
es nach ~ 6, Satz V in 35 eineniabzählbaren Teil 3' ohne Häufungspunkt. Da auch 3'-< 9, kann dann nach ~ 6, Satz VI auch 91 nicht
separabel. sein. Damit ist Satz II bewiesen.
Satz 11I. Jede Punktmenge des euklidischen fi ist separabell).
In der Tat, die Menge aller rationalen Punkte des 9, ist abzählbar (~ 1, Satz II) und dicht im 9k; also ist der C9k separabel,
1) Auch jede Menge reeller Zahlen ist demnach separabel.