Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

92 Punktmengen.
1. Sind a' + a" zwei Punkte von A', so ist:
r (a', a) e.
2. Zu jedem Punkte a von 92 gibt es mindestens einen Punkt a
von g9', so daß:
r (a, a') <.
In der Tat, wir konstruieren diese Menge 1' durch transfinite
Induktion (Einleitung ~ 4, Satz XIX):
Sei ao ein beliebiger Punkt von 92; sei sodann a eine Ordinalzahl von 3 -+ 32, und für jedes;ß<a sei aß so gewählt, daß:
r (aß," aß) ( < c,?"< c).
Dann sind zwei Fälle möglich; 1. Fall: Es gibt in 9f keinen Punkt a,
so daß:
(*) r (a, aß) e füir alle iB<a.
Dann ist die Menge aller aß (ß<a) der gewünschte Teil 91' von 91..
2. Fall: Es gibt in 1f mindestens einen Punkt a, für den (*) gilt;
einen solchen Punkt wählen wir dann für aa.
Wenn man nun, bei a = 0 beginnend, fortgesetzt obigen Schluß
anwendet, so muß für ein a aus,+-, 3 der 1. Fall eintreten,
da man andernfalls zu jedem a von,8 + -32 einen Punkt at in 0X
erhielte, so daß
(**) r (a, aa") > Q (', a" in, +,8);
das aber ist unmöglich, denn diese a, würden in 9 einen nichtabzählbaren Teil bilden (Einleitung ~ 4, Satz XIV), der wegen (**)
keinen Häufungspunkt hätte, entgegen der Annahme. Die Existenz
des behaupteten Teiles 91' von 91 ist damit bewiesen.
1 1
Wir setzen nun der Reihe nach Q,..,.. und erhalten
so eine Folge abzählbarer Teile, 912,..., 91,... von 9 mit folgender Eigenschaft: zu jedem a von 91 gibt es in 91, ein a', so daß:
1
r(a,a')<-.
Infolgedessen bildet die Vereinigung
wi + 21 2 + + % +
einen abzählbaren, in 91 dichten Teil von 91, d. h. 91 ist separabel.
Damit ist Satz V bewiesen.
Wir können nun feststellen, daß in Satz III die Bedingung,
91 sei separabel, nicht entbehrt werden kann. Angenommen in der
Tat, 9 sei nicht separabel. Nach Satz V gibt es dann in 9 einen
nicht abzählbaren Teil S3 ohne Häufungspunkt. Zu jedem a von 91