Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

90 Punktmengen.
da es andernfalls in 2 eine Punktfolge {a}j gäbe, so daß für je
zwei Punkte aus {a,}:
r (a"t, "anp) >_ -o o
entgegen der Annahme, daß 2 kompakt ist.
Nach Definition von Qo gibt es nun unter den Mengen 9a eine,
sie heiße B(t), so daß:
U (ai QO) S(i) (qi= 1, 2,..., k).
Aus (*) folgt aber daß jeder Punkt von 21 innerer Punkt
mindestens einer der Mengen S(1), S(2),...,,(k) ist, und Satz I ist bewiesen. - Eine andere Formulierung von Satz I lautet:
Satz II. Ist 21 kompakt und abgeschlossen, so gibt es
unter unendlich vielen in 2 offenen Mengen, deren Vereinigung 21 ist, auch endlich viele, deren Vereinigung 91 ist.
Wir bemerken noch, daß weder die Voraussetzung, 21 sei kompakt,
noch die Voraussetzung, 1 sei abgeschlossen, zum Beweise von Satz I
entbehrt werden kann. Sei in der Tat 2t nicht kompakt. Dann
gibt es in 1 einen abzählbar unendlichen Teil
(0) a a 2, a,..., a,...
ohne Häufungspunkt. Zu jedem Punkte a von 21 gibt es dann eine
Umgebung 1 (a), die - außer etwa a selbst - keinen der Punkte (0)
enthält. Jeder der Punkte (0) kommt dann nur in einem einzigen
U1(a) vor. Unter diesen 1U(a) gibt es daher gewiß nicht endlich viele,
deren Vereinigung alle Punkte (0) enthält; also auch nicht endlich
viele, deren Vereinigung 21 enthält.
Sei sodann 2 nicht abgeschlossen. Es gibt dann in a eine
Folge {aa} mit
lim a, -- a,
n= GO
wo a nicht zu 92 gehört. Jeder Punkt von 91 ist dann innerer Punkt
einer der Mengen 91- U (a; 1); aber es können nicht alle a, und
mithin auch nicht ganz 21 in der Vereinigung endlich vieler Mengen
- 11 (a; -) enthalten sein.
Wir sehen also, daß für nicht kompakte, sowie für nicht abgeschlossene Mengen das Borelsehe Theorem nicht gilt. Um auch für
solche Mengen ein ähnliches Theorem abzuleiten, müssen wir eine
Voraussetzung hinzufügen:
Wir nennen eine Menge separabel, wenn es eine in ihr dichte,
abzählbare Menge gibt').
1) Dieser Begriff rührt her von M. Frechet, Rend. Pal. 22 (1906), 23.