Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger form bearbietet von Hermann Grassmann.

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der Summe der Quadrate der Seitenflächen, vermindert um
die doppelten Produkte je zweier diefer Seitenflächen in den
cofinus des von ihnen eingeschlossenen Neigungswinkels.
Beweis. Sind a, b, c die von der Spitze nach den
Ecken der Grundfeite führenden Kanten ihrer Länge und Richtung nach, fo find a -- b, b - c, c - a die Kanten der Grundfläche. Die Grundfläche ist alfo (nach 254) [(- )(- )]
2
während die Seitenflächen =[bc] [ca] [l] find. Bezeich2"2' 2
nen wir die letzteren beziehlich mit A, B, C, und die Grundfläche
[(a - b)(b c)] mit D, und bedenken, dass [(a - b)(b - c)]
= [ab] - [ac]- [bb] + [bc] = [ab] + [ca] + [bc] ist, fo haben wir
D=A 4- B + C,
alfo
D = (A - B + C):
= A2 + B-2 + C + 2[BIC] + 2[CIA] +- 2[AB]
= a2 -+ ß2 + y2 + 2fy cos. -BC
+ 2ya cos. - CA - 2af cos. -AB.
Aber L-BC ist der Winkel zwischen den Ebenen [ca] und
[ab], d. h. zwischen - [ac] und [ab]. Der Winkel zwischen
[ac] und [ab] ist aber der von den entsprechenden Seitenflächen des Telraeders eingeschlossene, und alfo der Winkel
zwischen -[ac] und [ab], d. h. -BC, dessen Nebenwinkel,
und dasfelbe gilt für die Winkel /-CA und L-AB.
Anm. Man fieht aus diefer Darstellung, wie fich die Auflöfung
des Tetraeders vermöge der Beziehung, dass eine Seitenfläche desfelben fich als geometrische Summe der übrigen darstellen lässt, auf
eine einfache Weife aus unfrer Analyfe ergeben muss. Und da wiederum das sphärische Dreieck oder die dreikantige Ecke fich auf ein
Tetraeder zurückführen lässt, in welchem drei Kanten Radien der
Kugel find, fo zeigt fich, wie auch die sphärische Trigonometrie fich
eng daran anschliesst. Ich bemerke hier nochl, dass alle Formeln
der sphärischen Trigonometrie fymmctrischer werden, wenn man, wie
schon oben geschehen ist, statt der Neigungswinkel der Flächen ihre
Aussenwinkel fetzt. Dies zeigt fich befonders darin, dass dann die
Winkel der Polarecke gleich den Seiten der ursprünglichen Ecke