Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

VIII Inhaltsverzeichnis zum zweiten Bande.
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Der Fall k = 4 oder n = 4m + 1 zerfällt in zwei andere, je nachdem
m gerade oder ungerade ist. Ist m = 2e, so kann man allgemein
die Gleichung vierten Grades bilden, deren reelle Wurzeln die vier
Perioden (nz: 1), (m: g), (m: g2), (nm: g3) sind. Diese Gleichung
besitzt ebenfalls die Eigenschaft, dafs sich aus einer gegebenen
Wurzel p die drei andern sehr einfach bestimmen lassen..... 193
Der Fall k = 5 oder n =- 5 - + 1 endlich besitzt keine so einfache
Lösung; indessen liefert die nähere Untersuchung mehrere Bedingungsgleichungen, mittelst deren sich die Gleichung fünften
Grades bilden läfst, welche die Perioden (m: 1), (m: g), (in: g2),
(in: g3), (m: g4) zu Wurzeln hat................ 200
~ 3. Anwendung der Theorie auf numerische Beispiele.......... 208
Diese Beispiele beziehen sich auf die Werte n -- 7, 11, 13, 17, 41. Bei
diesem letzteren Beispiele wird gezeigt, wie die Funktion X in
Faktoren von verschiedenem Grade zerfallen kann........ 226
~ 4. Reduktionsmethode zur VervollstCindigung der vorstehenden Theorie. 231
Über die Hülfsgleichung fünften Grades, welche in dem Falle n= 5 -in 1
aufzulösen ist........................ 233
Es wird die allgemeine Methode für die Auflösung dieser Gleichung
angegeben, d. h. die Art, wie man die expliciten Werte ihrer Wurzeln erhält, und dies wird angewandt auf den Fall n = 41... 246
Die Anwendung derselben Methode auf den Fall n=41 würde zu demselben Resultate füiren, welches Vandermonde, der erste Begründer dieser Theorie, in den Abhandlungen der Pariser Akademie
der Wissenschaften vom Jahre 1771 angegeben hat......... 248
Über die Hülfsgleichung siebenten Grades, welche unter der Annahme
n = 7m +- die Perioden von in Gliedern zu Wurzeln hat... 248
Dieser zweiten Entwicklung der allgemeinen Methode folgt eine dritte,
welche sich auf die Auflösung der im Falle n = 3in + 1 geltenden
Gleichung bezieht........................ 256
~ 5. Verfahren, um zur allgemeinen Auflösng der Gleichung X =0 zu gelangen............................ 262
Anstatt nach und nach die verschiedenen Hülfsgleichungen, deren Grade,
mit einander rnultipliciert, das Produkt ergeben, aufzulösen,
2
ist es viel einfacher, direkt die Gleichung - ten Grades in
2
p aufzulösen, welche an Stelle der Gleichung X 0 tritt, und
deren allgemeine Formel unter dem Buchstaben (A) angegeben ist 263
Die zur Auflösung dieser Gleichung d. h. zur expliciten Bestimmung
aller ihrer Wurzeln notwendige Analyse wird an mehreren Beispielen entwickelt, welche ziemlich alle Schwierigkeiten vereinigen,
denen man bei andern Anwendungen begegnen könnte. Diese Theorie
giebtVeranlassung, mehrere Reihen von sehr bemerkenswerten Sätzen
zu begründen, welche sich auf die Funktionen T und A beziehen.
Die der Reihe nach als Beispiel genommenen Zahlen sind 31,
13, 41, 17........................ 263-323