Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

86 Vierter Hauptteil.
Bezeichnen wir allgemein durch A~ die positive und unterhalb A
liegende Zahl, für welche AA0~+ C durch A teilbar ist, so giebt
der Ausdruck E(- +-) die Anzahl der durch e teilbaren Glieder
in der gegebenen Reihe und E(n + ) die Anzahl der durch A teilbaren Glieder an. Zieht man beide Zahlen von der Gesamtzahl n
ab, so bleibt
n-E ( + -E ( -)
übrig. Auf diese Weise würde man jedoch die durch eA teilbaren
Glieder zweimal abgezogen haben; um sie daher nur einmal abzuziehen, wie die Aufgabe es verlangt, mufs man zu der vorstehenden
Gröfse die Anzahl der durch;lt teilbaren Glieder, welche gleich
E( + (n)) ist, addieren. Man erhält so die gesuchte Zahl:
g X- E ( FO )+ ( #k )
In dein Falle, wo n ein Vielfaches von üA ist, geht diese Formel
über in:
423.
Allgemein seien a,, X t,... tp, eo beliebig viele Primzahlen
(aufser 2), von denen keine in A aufgeht, und es werde die Aufgabe gestellt, zu bestimmen, wieviel Glieder es in der Progression
A —, 2A - C,... nA - C giebt, welche durch keine von
diesen Primzahlen teilbar sind.
Hierbei mufs man zwei Fälle unterscheiden.
1) Ist n ein Vielfaches des Produktes AZi... eo, so ist
die gesuchte Anzahl:
S-(i - )(- )( -(- ) (a( )),
Diese nämliche Formel liefert allgemein für jeden Wert von n
ein angenähertes Resultat. Indessen könnte die Annäherung ziemlich mangelhaft werden, wenn das Produkt 4e;t... pco gleich einer
sehr hohen Potenz vo n n wäre.
2) Was auch n sein möge, man erhält stets die richtige
Lösung mit Hülfe der Formel: