Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 11. Bestimmung d. Anzahl d. Glieder e. arithm. Progr., welche u. s. w. 85
zahl, welche nicht in A aufgeht, bestimmt man ferner die Zahl e< < e
so, dafs A~0 + C durch e teilbar ist, und setzt man x = az - 91
so wird für alle in dieser Formel enthaltenen Werte von x der Ausdruck A x - C durch e teilbar sein. Nachdem dieses festgestellt ist,
fragen wir, wie viele durch ü nicht teilbare Glieder es in
der gegebenen Progression giebt, wenn die Anzahl aller
Glieder gleich n ist.
Ist n ein Vielfaches von 9, so ist offenbar die Anzahl der durch, teilbaren Glieder gleich -. Wird daher die Anzahl der durch ü
nicht teilbaren Glieder y genannt, so ist:
y n n -n 1\ Q
Ist dagegen n kein Vi-elfaches von a, so giebt die vorhergehende Formel bis auf einen Bruch die Anzahl der durch D nicht
teilbaren Glieder an. Um aber eine in allen Fällen genaue Formel zu
erhalten, bemerken wir, dafs die durch e teilbaren Glieder die Reihe
bilden: A(Q - e~) - C, A(2, - ~O) - C, f1(3 - ü~) -- C,...
bis zu einem Gliede kvAO - Aa~ - C, das An -- C möglichst nahe
liegt lund kleiner als An - C ist.
Bezeichnen wir, wie gewöhnrlich, mit E2( + -) die gröfste in
enthaltene ganze Zahl, so ist diese ganze Zahl der Wert
von k. Mithin ist die Anzahl der durch e teilbaren Glieder in der
gegebenen Progression gleich E ( n- -, und somit die Anzahl der
durch nicht teilbaren Glieder gleich:
Y- / ( ( q0 )Wenn n durch ü teilbar ist, so ist die gröfste in -F - o enthaltene
ganze Zahl, welches auch ~ sein möge, gleich, da positiv
und kleiner als ü ist. Es ist also dann y =- - wie oben.
422.
Es seien jetzt f und i zwei nicht in A aufgehende Prinizahlen,
und es werde die Aufgabe gestellt zu bestimmen, wieviel Glieder es in der närnlichen Progression giebt, die weder durch el
noch durch Z teilbar sind.