Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

84 Vierter Halupltteil.
3va, ist 3 3. 5 oder 45, also aß > 45. Da aber die Zahlen a und P
un.gleich und von 3 und 5 verschieden sein müssen, so darf man für
a und ß keine kleineren Werte nehmen als 7 und 11. Diese geben
N'v 7. 11, und der kleinste Wert von N-= 2sN' wird av 7. 11
oder 3 5 7 11. Offenbar ist abler /3 5 7. 11 > 5. Mithin hat
man n' > (i-1).
3) Ist N' =vaßy, und sind diese vier Faktoren ungerade und
von einander verschieden, so ist i = 4 und i(i-) - = (3) = 7. In
diesem Falle ist der kleinste Wert von N -= 2,vaßcy gleich
3.5 7 11 13. Nun ist aber V/3 5.711-13 oder j/7T11'-1315
offenbar gröfser als 7. Mithin hat man ebenfalls n' > ("-1)
4) Nimmt man noch einen Faktor hinzu, so ist i -==5,
(/-i) =-11, und der kleinste Wert von N ist 3. 5 7 11 13. 17 oder
11 13 17. 105. Da nun V/V > 22 ist, so ist n'> -V> I ->).
Die Ungleichheit wird offenbar zu Gunsten von n immer gröfser
und gröfser, je mehr die Anzahl der Faktoren über drei hinaus
wächst. Mithin ist der Satz streng bewiesen, sobald N' eine
beliebige Anzahl von ungeraden ungleichen Faktoren besitzt.
Komrmen in N' gleiche Faktoren vor, so treten dieselben
nur als einfache Faktoren in den Wert von i und somit in den von
'"-l) ein. Jedoch 1imm11t I/N immer mehr zu und die Ungleichheit
wird zu Gunsten vo0n 1' noch viel gröfser. Ebenso verhält es sich
mit (deml Faktor 2, welcher zwar den Wert von in', nicht aber den
von (,(i-1) vergröfsert.
Mithin kann man in allen Fällen, welche nicht zu den Fällen
1 und 2 in No. 416 gehören, stets eine oder mehere Zahlen Z finden,
welche kleiner als AT und prim zu N1 oder -N sind.
~ 11.
Methode zur Bestimmung der Anzahl der Glieder in einer beliebigen
arithmetischen Progression, welche durch keine der in einer gegebenen
Reihe enthaltenen Primzahlen teilbar sind.
421.
Wir betrachten wiederum die arithmetische Progression:
A-C, 2A-C, 3A- C,... nA- C,
in welcher A und C zu einander prim sind. Ist dann ~O eine Priim