Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 10. Jed. quadr. Teiler von t2'+Nu2 enthält eine Zahl Z, welche u. s. w. 83
420.
Wir nehmen den Wert N' — ac'- Alb'2 wieder auf und setzen
voraus, dafs der gröfste gemeinschaftliche Teiler von a und N gleich
li2v sei, wo 12 der gröfste in ihm enthaltene quadratische Faktor ist.
Alsdann mufs b' durch,uv teilbar sein. Setzt man also:
a ==,2va', b' =- vb",
so erhält man:
N' =-y2v (a'' - lvb"2).
Der Faktor g2 könnte sich auf 1 reducieren, v dagegen ist ein ungerader Faktor, der notwendig bleiben mufs, da der Beweis unter
der Annahme geführt wird, dafs a und N einen andern gemeinschaftlichen Teiler als 2 haben. Was den andern Faktor a'c'-Avb"2
anlangt, so kann man zeigen, dafs er gröfser ist als 31vb"2. Denn
da a und c beide gröfser als 2b sind, so hat man ac > 4b2 und somit a'c' > 4vb"2. Hiernach sieht man, dafs N' nicht weniger als
zwei verschiedene ungerade Faktoren haben, oder dafs i nicht kleiner
als 2 sein kann. Wir wollen nun der Reihe nach die verschiedenen
Fälle untersuchen, welche je nach den verschiedenen Werten von i
stattfinden.
1) Wir nehmen an, dafs N' nur zwei Faktoren v und a
habe. Da alsdann i gleich 2 ist, so hat man,u(i-l)= (1)_ 3,
weil 3 das erste Glied der Reihe 3, 5, 7, 11,... ist. Man hat demnach zu beweisen, dafs n' gröfser ist als 3.
Da einerseits N' = va, andererseits N'> 3Av2b"2 ist, so ist
umsomehr a > 32Av, und da die kleinsten Zahlen, welche für A und v
genommen werden können, 3 und 5 sind, so ist a > 45. Mithin darf
man a nicht kleiner als 46 oder 47 annehmen; man kann a == 46
setzen, da der Faktor 2 nichts an dem Resultate, das man haben
will, ändert. Alsdann hat man N= - 2)N' =2 '2iv 46. Der kleinste
Wert von N ist also N = 3 5 46 = 690, woraus folgt:
n> 83 V690 > 9,37.
Wenn daher N' nur zwei ungerade Primfaktoren besitzt, so ist
> '(i-1).
2) Wir setzen voraus, dafs N' drei Primfaktoren besitze,
und ferner, dafs diese Faktoren von einander verschieden seien, damit
der Wert von i um so gröfser werde. Setzt man also N' = va3,
i = 3, wodurch sich g(i-2) ==g(2) = 5 ergiebt, so mufs ebenfalls
N'> 3v2Ab"2 und somit aß > 3vA sein. Das Minimum der Gröfse
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