Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

82 Vierter Hauptteil.
auflösen mufs; dieselbe liefert als diese Grenzen die Werte:
-b + I cN — c,, - b - c.-c
c - -- c
Ihre Differenz -/cN- c stellt nahezu die Anzahl der Werte von y
1
dar, für welche Z < N ist. Denn beachtet man, dafs b < -c ist,
so findet man mit Hülfe der vorstehenden Werte leicht, dafs die Anzahl dieser Werte gleich der gröfsten in - cN-c enthaltenen
ganzen Zahl oder höchstens um eine Einheit gröcser als diese ganze
Zahl ist. Bezeichnet man also jene Zahl mitnn', so hat man:
n, E (2VC — )
oder in gewissen Fällen:
n= 1+ E(2 ICN- -).
Indessen kann man allgemein den ersten Wert festhalten, wodurch
die Rechnung nur noch beweiskräftiger für unsern Satz wird.
Diesem Werte kann man eine bequemere Form geben. Da die
beiden Zahlen a und c mit N einen gemeinschaftlichen Teiler haben
und b nicht gleich Null ist, so inufs b wenigstens durch zwei von einander verschiedene ungerade Primzahlen teilbar sein. Es kann daher
b nicht kleiner als 3 X 5 sein, und da c>2b ist, so mufs c> 30 sein.
Dieselbe Zahl c, die wir als die kleinere der beiden Zahlen a
und c angenommen haben, ist < 2 /-, und da cN-c>(c-1)N
ist, so kann der Wert von n' auf die Form gebracht werden:
/ C-i N 2N Nv
' > 2 -V C —1 N'
1 29 c 2/2N c
Hierin ist -- > - und 2 3N > 1. Mithin ergiebt sich:
c 30 c
183 4.
n' > i0 V1N.
Es ist jetzt zu zeigen, dafs, welches auch die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von N' sein möge, doch stets "(i-1)< n' ist.
*) Diese Werte sind inkorrekt, insofern an Stelle von I/cN - c überall
}/cN- N zu setzen ist. Hierdurch wird indessen der schliefsliche Grenzwert
für n' nicht beeinflufst, da später wieder der richtige Wert IcN- N eingeführt wird. Anm. d. Übers.