Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

80 Vierter Hauptteil.
schaftlichen Teiler haben; denn hätten sie einen solchen, so könnte
der ausgesprochene Satz offenbar nicht stattfinden.
416.
Nachdem dieses festgestellt ist, bemerken wir zunächst, dafs es
zwei Hauptfälle giebt, in denen man den Wert von Z unmittelbar erhält.
1) Wenn die eine der beiden Zahlen a und c entweder keinen
oder nur den Teiler 2 mit N gemeinsam hat, so kann man diese
Zahl für Z nehmen.
2) Wenn in dem gegebenen quadratischen Teiler das zweite Glied
fehlt, so dafs man r = cy2 + az2 und N = ac hat, so ist ersichtlich, dafs die in r enthaltene Zahl c + a kleiner als ac ist und mit
ac keinen gemeinschaftlichen Teiler hat. Demnach ist in diesem
Falle allgemein Z= c + a.
Es handelt sich also nur noch darum, die Fälle zu untersuchen,
wo b von Null verschieden ist, und jeder der Koefficienten
a und c mit N einen gemeinschaftlichen Teiler hat.
Unter dieser doppelten Voraussetzung kann man die gesuchte
Zahl nicht nur in der gegebenen Formel cy2 + 2byz + az2, sondern
auch in der weniger allgemeinen Formel cy2 + 2by + a finden. Wir
werden daher zeigen, dafs man stets der Gleichung
Z= cy2 + 2by +- a
geniigen kann, wenn man annimmt, dafs Z kleiner als N und prim
zu N oder N ist.
417.
Es sei;2A der gröfste Teiler, welchen c und N gemeinsam
haben. Wir stellen diesen Teiler in der angegebenen Weise dar, um
auszudrücken, dafs A nur ungleiche Faktoren besitzt, und um aus
der Gleichuing ac - b2 = N schliefsen zu können, dafs A. der gröfste
gemeinschaftliche Teiler von c und b ist. Ist daher:
c -= ü2c', b =- Ab', N= a 2AN',
so erhält man:
N' ac' -Ab'2
und der Teiler Z geht über in:
Z= A2Ä c'y + 2 a b'y + a.
Ich bemerke nun zunächst, dafs Z keinen gemeinschaftlichen
Teiler mit eR haben kann; denn wenn eine und dieselbe Primzahl Go