Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

78 Vierter Hauptteil.
aufgehen können, ausschliefst; denn ist die Anzahl dieser gleich i,
so müifste man an Stelle der im Satze der No. 410 erwähnten Zahl
7(k-i) die Zahl r(k-l-i) nehmen. Jedoch sind diese Bemerkungen
minder wichtig, vielmehr genügt es, allgemein bewiesen zu haben,
dafs jede arithmetische Progression, in welcher A und C relative
Primzahlen sind, unendlich viele Primzahlen enthält. Was die Menge
der unter n Gliedern der Progression enthaltenen Primzahlen betrifft,
so kann dieselbe nur mittelst anderer Betrachtungen bestimmt werden.
413.
Wir untersuchen jetzt specieller die Progression der
ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9,... 2n - 1, und stellen uns
die Aufgabe zu bestimmen, wie viele Glieder wir zu dieser
Progression hinzufügen müssen, damit sich unter diesen
Gliedern notwendig eine Primzahl vorfinde.
Ist p die Primzahl, welche der Aufgabe genügt, und co die unmittelbar auf,p folgende Primzahl, so mufs unserm Satze zufolge o
die gröfste in ]/2n + 2 -- 1 enthaltene Primzahl, mithin
o2 - 2, + 1 < 2n
sein. Es kann aber c - 4p nicht kleiner als 2 sein; folglich erhält
man:
o2- 2co + 1 <2n - 4,
somit:
- - l < 4/2 -4,
und daher:
4 < - 1 + 1/2n-4.
Diese allgemeine Lösung liefert den folgenden Satz:
Ist 4 die gröfste in ]/2n-4- 1 enthaltene Primzahl,
so giebt es unter den 4P, unmittelbar auf 2n - 1 folgenden
ungeraden Zahlen stets wenigstens eine Primzahl.
414.
Ist z. B. 2n - 1 113 oder n = 57, so ist die gröfste in
]/110- 1 enthaltene Primzahl 7. Mithin giebt es unter den sieben
auf 113 folgenden ungeraden Zahlen, welche lauten: 115, 117, 119,
121, 123, 125, 127, notwendig eine Primzahl. Dieselbe ist 127, also
gerade die siebente.
Man findet hier die auf 7 bestimmte Grenze gerade von der