Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 9. Beweis verschiedener Sätze über die arithmetischen Progressionen. 77
man dann in der Progression A -C, 2A - C, 3A - C,... an
irgendwelcher Stelle, aufeinanderfolgende Glieder aus, so mufs es
dem vorhergehenden Satze zufolge unter diesen n Gliedern wenigstens
eins geben, welches durch keine der Primzahlen 3, 5, 7, 11,...,, co
teilbar ist, und welches somit, wenn die Progression mit dein Gliede
nA - C ihr Ende erreicht, eine Primzahl ist.
Die Anzahl der Glieder der Progression, von demjenigen an,
welches /nA - C am nächsten liegt, bis zum letzten Gliede A - C,
beträgt nahezu n - /- (denn an n immt < A an, und es ist
< 1/nA). Mithin giebt es unter den n Gliedern der betrachteten
/ fn
Progression wenigstens ebensoviel Primzahlen, als in l/ n[ oder
ungefähr in / Einheiten enthalten sind. Diese Zahl kann so
grofs werden als man will, wenn man n einen geeigneten Wert
giebt. Folglich:
Jede arithmetische Progression, deren erstes Glied und
Differenz relative Primzahlen sind, enthält unendlich viele
Primzahlen.
Diesen Satz, welcher in der Zahlentheorie von grofsem Nutzen
ist, habe ich in den Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften
vom Jahre 1785 angegeben. Bisher jedoch war ein Beweis desselben noch nicht bekannt, und schien derselbe grofse Schwierigkeiten
darzubieten.
412.
Man könnte, falls es nötig wäre, die Grenzen, zwischen denen
eine Primzahl liegen mufs, stufenweise verengern; denn die Zahl
rc(-1), welche die Ausdehnung dieser Grenzen angiebt, nimmt zu
gleicher Zeit mit n und zwar im Verhältnis von ]/n ab. Wenn demnach n kleiner oder die Progression weniger weit fortgesetzt ist, so
bedarf man einer geringeren Anzahl von aufeinanderfolgenden Gliedern, um unter ihnen eine Primzahl zu finden, als wenn die Progression eine gröfsere Ausdehnung besitzt. Aus diesem Grunde würde
man für die Anzahl der Glieder der Progression, welche Primzahlen
sind, eine Zahl gröfser als Jn finden. Dieses Resultat würde noch
gröfser werden, wenn man die ungeraden Primzahlen, welche in A