Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

Inhaltsverzeichnis zum zweiten Bande. VII
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Beziehung, welche zwischen den Wurzeln der Gleichung X 0 und
denen der unbestimmten G!eichung zn1 - 1 = Sl(n) besteht.
Jeder Wert z g, welcher dieser letzteren genügt und der primitive Wurzel von n genannt wird, ist derart, dafs alle Wurzeln der
Gleichung X= 0 durch die aufeinanderfolgenden Potenzen r, ir,
T0, r9g,... n - oder, mit Hülfe einer abkürzenden Bezeichnung,
durch (1), (g), (g2), (g3),.. (g-2) ausgedrückt werden können. 170
Bildung der Perioden, in welche die alle Wurzeln der Gleichung X= —
enthaltende Periode (n - 1: 1) zerfällt............ 171
Fundamentalsatz, durch welchen allgemein das Produkt zweier gleichartigen d. i, eine gleiche Anzahl von Gliedern enthaltenden Perioden
gefunden wird........................ 175
Bildungsweise der Gleichung, welche die durch (m: 1), (m:g), (m: g2),... (m: g-) bezeichneten Je Perioden von je ml Gliedern zu Wurzeln hat. Diese Gleichung ist stets von der Form:
k pk- -1 + apk-2 + ppk-3 +... _= 0... 177
Mittelst der Wurzeln dieser Gleichung kann das Polynom X in i/ Faktoren von mten Grade zerlegt werden, so dafs die Gleichung X 0
vom Grade n - 1 = mk in k Gleichungen vom Grade m zerfällt. 178
Jede durch (m: a) dargestellte Periode von m Gliedern kann wieder
zerlegt werden in;' Perioden von m' Gliedern, falls m = m'k' ist,
und die Gleichung vom Grade Ik', welche aiese Teilperioden, nämlich (mn': a), (sm': a h), (i': a h)... (n': hk - 1) zu Wurzeln hat,
besitzt Koefficienten, die sich durch die bereits bekannten Wurzeln
der Gleichung ktdu Grades ausdrücken lassen......... 180
~ 2. Allgemeine Bildung der Gleichiung ktel Grades fir d ie Werte k -2, 3, 4, 5 184
Wenn k 2, so sind die beiden Werte von p gleich- - - /- n,
2 2
falls n von der Form 4 i + 3, und gleich - + / n, falls n von
der Form 4i + 1 ist..................... 186
Daraus folgt, dafs allgemein die Funktion 4 X stets die Form Y2 + nZ2
besitzt, wenn n 4i + 3, und die Form Y2 -- nZ2, wenn
n == 4i+- 1 ist........................ 187
Verschiedene Methoden, die Funktionen Y und Z a priori zu bestimmen..................... 187
Für k = 3 und n =- 3,m -+ sind die drei Perioden (m: 1), (m: g),
(nm: g2) die Wurzeln einer Gleichung dritten Grades, welche nur
durch den Wert der Primzahl n bestimmt wird, wenn man 4 n auf
die Form a2 + 27b2 bringt..................191
Diese Gleichung besitzt allgemein die Eigenschaft, dafs aus einer Wurzel
p derselben eine andere p' durch die sehr einfache Formel, C+ (A - C) p
m p u4ie - C - B
bestirmmt wird, und aus dieser folgt in atnaloger Weise die dritte. 192