Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

76 Vierter Hauptteil.
zahl der Glieder, welche zwischen den beiden mit 17, 17 bezeichneten
Gliedern enthalten sind, gleich 17- 1 ist. Mithin hat man ==- 17-1.
Ebenso leicht sieht man allgemein, dafs, wenn die Reihe (a) aus
k Primzahlen besteht, von denen zwei,, und co, unbestimmt sind,
die andern aber die natürliche Reihe 3, 5, 7, 11, 13, 17,... bis zu
n(k-2) bilden, das gesuchte Maximum ist:
M- (k-1) - 1,
wobei r(k1-) das an k - iter Stelle befindliche Glied in der Reihe
der Primzahlen 3, 5, 7, 11,... bedeutet.
Diese Formel steht im Einklang mit den von uns gefundenen
besonderen Resultaten. Es ergiebt sich aus ihr der folgende allgemeine Satz:
410.
Es sei eine beliebige arithmetische Progression - C,
2A -C, 3A -,... gegeben, in welcher A und C relative
Primzahlen sind; es sei ferner eine Reihe a, A, t,... P, o
gegeben, welche aus k ungeraden, beliebig gewählten und
in irgendwelcher Reihenfolge angeordneten Primzahlen
besteht. Nennt man dann allgemein z(z) das zte Glied in der
natürlichen Reihe der Primzahlen 3, 5, 7, 11,..., so giebt
es unter Ztk-1) aufeinanderfolgenden Gliedern der gegebenen Progression wenigstens eine, welche durch keine der
Primzahlen, Ä, At,... 4, co teilbar ist.
Denn wie wir eben bewiesen haben, kann es in der in Rede
stehenden Progression höchstens nur z(k-1)- 1 aufeinanderfolgende
Glieder geben, welche durch irgend eine der Primzahlen a, A, i,...,, wo
teilbar sind. Mithin giebt es unter (t-1) aufeinanderfolgenden
Gliedern wenigstens eins, welches durch keine von diesen Zahlen
teilbar ist.
Dieser sehr bemerkenswerte Satz läfst mehrere schöne
Anwendclngen zu. Man kann sich davon durch die beiden Folgerungen, die wir aus ihm ziehen werden, überzeugen.
411.
Wenn die Progression A - C, 2A -, 3A - C,..., bis zum
2teU Gliede nA --- C fortgesetzt ist, so sei L die gröfste in }/nA-C
enthaltene ganze Zahl; zugleich sei o die unmittelbar unterhalb L
gelegene Prinizahl und 4 die Primzahl, welche Go vorangeht. Wählt