Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 9. Beweis verschiedener Sätze über die arithmetischen Progressionen. 73
jedoch findet dieses Maximum nur statt, wenn zwei der vier Primzahlen gleich 3 und 5 sind.
406.
In der That sieht man ein, dafs die kleinsten Primzahlen
am ehesten unter sonst gleichen Umständen den gröfsten
Wert von M zu liefern vermögen, da bei gröfseren Primzahlen
auch die Abstände der Glieder, deren Teiler sie sind, gröfser werden.
Auf Grund dieser Beobachtung kann man sogleich die natürliche Reihe der Primzahlen 3, 5, 7,...., c in Betracht ziehen,
indem man nur zwei Unbestimmte übrig läfst, wie es in den behandelten Fällen geschehen ist. Das für diese Reihe gefundene Maximum
wird um so mehr gelten für die Reihe (a), welche aus einer gleichen
Anzahl von Gliedern 4, l, e,...,, Go besteht.
Es seien also die fünf Primzahlen 3, 5, 7,,, co gegeben. Wie
wir bereits gefunden haben, können wir mit den vier Primzahlen
3, 5, f,, Co die sechs aufeinanderfolgenden Glieder (5), (3), (,), (co),
(3), (5) bilden. Nähme man 7 an Stelle von,p oder co, so könnte
man höchstens nur die acht Glieder (5), (3), (7), (co), (3), (5), (4), (3)
bilden, denn ihre Fortsetzung nach rechts würde erfordern, dafs Co
gleich 5, und die nach links, dafs 4 gleich 7 wäre. Man erhält
jedoch ein gröfseres Resultat, wenn man 4 und co so läfst, wie in
der ersten Anordnung, und dann (7) auf der einen Seite hinzusetzt.
Dies gestattet zu gleicher Zeit, (7) auch auf der andern Seite hinzusetzen, da das Intervall der beiden Glieder (7) und (7) aus sieben
Gliedern besteht, wie es sein mufs. Man erhält somit die acht aufeinanderfolgenden Glieder: (7), (5), (3), (t), (co), (3), (5), (7). Ferner
aber kann man offenbar noch (3) auf beiden Seiten hinzufügen, weil
der erforderliche Abstand von den nächsten Gliedern (3) gewahrt ist.
Auf diese Weise erhält man eine Verbindung von zehn Gliedern,
nämlich (3), (7), (5), (3), (4,), (co), (3), (5), (7), (3). Dieselbe läfst
sich aber weder nach rechts noch nach links weiter fortsetzen, da
hierzu co oder 4 gleich 5 sein müifste, was nicht der Fall ist, weil
5 bereits Verwendung gefunden. Mithin ist in dem Falle, wo
die Reihe (a) aus fünf Gliedern besteht, das gesuchte Maxiuum l - M - 10.
407.
Man hätte durch eine einfache Betrachtung unmittelbar
zu diesem Resultate gelangen können. Da die durch 3 teilbaren,