Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

72 Vierter Hauptteil.
ausgeschlossen, da wir in der Reihe (a) nur ungerade Primzahlen in
Betracht ziehen. Aus demselben Grunde kann das Glied, welches
(a) vorangeht, nicht durch, und noch weniger durch ai teilbar sein.
Mithin ist in diesemn ersten Falle das gesuchte Maximum
111-2.
404.
Sind drei Primzahlen a A, A, gegeben; so kann man sich denken,
dafs drei aufeinanderfolgende Glieder durch diese Zahlen teilbar
seien. Dieselben seien mit (9), (A), (R) bezeichnet. Damit das auf
(g) folgende Glied durch a teilbar sei, mufs e gleich 3 sein, und
damit das Glied, welches (a) vorangeht, durch t, teilbar sei, mufs t
gleich 3 sein. Da jedoch die betrachteten Primzahlen notwendig von
einander verschieden sind, so kann nur eine von diesen Annahmen
stattfinden. In dem Falle also, wo = 3 ist, könnte es vier aufeinanderfolgende Glieder (3), (A), (t), (3) geben, von denen jedes
durch eine der Primzahlen 3, A, S teilbar ist. Unmittelbar hinter
diesen vier Gliedern kann man kein fünftes von dieser Beschaffenheit
annehmen; denn da der kleinste Wert, welchen A haben kann, 5 ist,
so würde das erste durch 5 teilbare Glied hinter (2) das siebente
und nicht das fünfte sein. Mithin hat man in dem Falle, wo
die Reihe (a) aus drei Primzahlen besteht, höchstens.11=4;
obendrein mufs aber eine dieser Primzahlen gleich 3 sein.
405.
Wir nehmen jetzt an, dafs die Reihe (a) aus vier Primzahlen
a, tA,, v bestehe, und betrachten vier aufeinanderfolgende, durch
diese Zahlen teilbare Glieder, nämlich (a), (A), (Z/), (v). Soll zu
diesen noch ein fünftes hinzutreten, so mufs,1 gleich 3 sein; alsdann
erhält man die fünf aufeinanderfolgenden Glieder (a), (3), (t), (v), (3).
Soll zu diesen noch ein sechstes hinzukommen, so ist dies nur möglich, wenn 9' = 5 ist; denn alsdann würde man die sechs Glieder
(5), (3), (y), (v), (3), (5) erhalten. Diese Reihe kann weder nach rechts
noch nach links weiter fortgesetzt werden; denn da 6u und v gröfser
sein müssen wie 5, so gehen die durch g oder durch v teilbaren
Glieder weit darüber hinaus. Mithin giebt es in dem Falle, wo die
Reihe (a) aus vier Gliedern besteht, nur höchstens sechs aufeinanderfolgende Glieder in der Progression (Z), welche durch irgend eins
der Glieder der Reihe (a) teilbar sind. Man hat also dann M- 6;