Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 9. Beweis verschiedener Sätze über die arithmetischen Progressionen. 71
Entdeckung dienen, sind gleich zulässig. So hat man von
der Betrachtung der Funktionen Gebrauch gemacht, um verschiedene
fundamentale Sätze aus der Geometrie und Mechanik zu beweisen.
~ 9.
Beweis verschiedener Sätze über die arithmetischen Progressionen.
402.
Es sei die arithmetische Progression gegeben:
A- C, 2A -C, 3A - C,, nA -, (Z)
in welcher A und C irgendwelche zu einander prime Zahlen sind.
Ferner sei a eine Primzahl, welche nicht in A aufgeht. Bestimmt
man dann x derartig, dafs Ax - C durch a teilbar ist, so wird der
Wert von x allgemein von der Form x = a 4 -z sein, woraus man
erkennt, dafs die durch ü teilbaren Glieder in der gegebenen arithmetischen Progression selbst wieder die arithmetische Progression
AC- C, A(a+ C) -C, A(a + 2,)-C,...
bilden, und dafs es somit unter a aufeinanderfolgenden, an irgend
einer Stelle der Progression (Z) gewählten Gliedern stets ein durch. teilbares Glied giebt, welchem eine Reihe anderer gleichfalls durch
a teilbarer und von einander um das Intervall a abstehender Glieder
vorangeht und nachfolgt.
Nachdem dieses festgestellt ist, sei a,, Sb,... f, co eine Reihe
beliebig angenommener und in irgendwelcher Ordnung aufeinanderfolgender Primzahlen, von denen jedoch keine in A aufgeht. Wir
untersuchen, welches in der Progression (Z) die gröfste
Anzahl von aufeinanderfolgenden Gliedern ist, welche
durch irgend eine der Zahlen der Reihe a, A, t,..., ao, die
wir die Reihe (a) nennen wollen, teilbar sind. Zu diesem Zwecke
müssen wir zunächst die einfachsten Fälle untersuchen.
403.
Betrachtet man zunächst nur zwei Primzahlen i, A, so kann es
nicht mehr als zwei aufeinanderfolgende Glieder geben, von denen
das eine durch e, das andere durch A teilbar ist. Diese Glieder
können durch (a), (A) bezeichnet werden. Das auf (l) folgende Glied
kann nicht durch e teilbar sein; denn da das Intervall bis (a) nur
zwei Glieder enthält, so mifste =- 2 sein. Dieser Fall ist aber