Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

68 Vierter Hauptteil.
Nach den bekannten Formeln aber hat man:, ( dz I 9 d2z
Z d 2 dco2
z —z X+ a - d+~
Betrachtet man demnach a als sehr klein im Verhältnis zu o, was
um so genauer ist, je gröfser co ist, so erhält man sehr nahe:
d z -d co - da
z C(a a
und dies giebt:
A A
Z = _ ---
a log so - 0,08366
Berücksichtigte man die Glieder zweiter Ordnung, so erhielte man
genauer:
A(1 2t)
z = -- ----- _ _
log o - 0,08366 + 2 -Indessen ist der erste Wert hinreichend genau. Setzt man A= 1,104,
so findet man leicht die in Tafel IX enthaltenen Zahlen.
398.
Es sei jetzt die Reihe der Brüche
3 5t 72 t II2 + *''+ 2 2
in welcher die Nenner die Quadrate der aufeinanderfolgenden Primzahlen sind, zu summieren.
Setzt man o + a an die Stelle von e, so wird:
1
oe (CO + a)2 '
oder:
dz 1 2 d2z 2a
d c 2T ~ 2 d *- Co. - 3 +'
Folglich:
S- 1 -A- 1
c(ao + ) o (log X + 0,91634)
Die Konstante A ist der Wert der ins Unendliche fortgesetzten
Reihe. Euler fand denselben gleich 0,202247 (Intr. in Anal. inf.
No. 282).
399.
Was die Summe der einfachen reciproken Reihe
1 1 1 1 1
=~3 + T + -7 + t++.+
3 5, 7 11Ü