Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 8. Häufigkeit der Primzahlen. 67
Hieraus erhält man unter der Voraussetzung, dafs x eine sehr grofse
Zahl sei:
a= (logx-c+l)(1l+ -)
oder einfach:
a log x - 0,08366,
da diese Bestimmungen keine strenge Genauigkeit gestatten.
Es folgt hieraus, dafs in dem Mafse, wie x wächst, die Differenz
zwischen zwei x benachbarten Primzahlen ebenfalls wächst, und dafs
dieselbe, was ihren mittleren Wert betrifft, mit grofser Annäherung
durch log x - 0,08366 dargestellt werden kann, so dafs man in einem
Intervalle von 2m zwischen x - m und x + m enthaltenen Gliedern
eben so viele Primzahlen zählen mufs als Einheiten
log x - 0,08366
enthält, vorausgesetzt dafs m hinreichend klein im Verhältnis zu x ist.
Dieses Resultat stimmt übrigens sehr gut mit der Natur der
Primzahlen überein, welche im Allgemeinen um so weiter von einander entfernt sein müssen, je gröfser sie werden. Denn die Wahrscheinlichkeit, dafs eine beliebig herausgegriffene Zahl eine Primzahl
ist, nimmt stets in dem Mafse ab, als diese Zahl zunimmt, da die
Anzahl der Divisionen; welche man auszuführen hat, um sich zu
überzeugen, dafs sie eine Primzahl ist, immer gröfser wird.
397.
Nach dem soeben erhaltenen Resultate scheint es, dafs die convergenten Reihen, welche von dem Gesetz der Primzahlen abhängen,
so summiert werden könnten, als ob dieses Gesetz ein regelmäfsiges
und von der Art sei, dafs, wenn irgend ein Glied mit x bezeichnet
wird, das folgende Glied l x - log x c + 1 ist. Im Folgenden gebe
ich einen Versuch, solche Summationen auszuführen. Dieselben sind übrigens zu verificieren, sei es durch numerische Berechnung, sei es durch direktere Methoden.
Wir stellen uns zunächst die Aufgabe, das Produkt
( )(1 - )(-' )(1- r ).-.(1-
in welchem die Nenner die aufeinanderfolgenden Primzahlen von 3
bis co sind, zu berechnen.
Nennt man z' dasjenige, was aus z wird, wenn sich co in
co + log w - c + 1 oder in o +- a verwandelt, so ist:, _ -4- ca - -1
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