Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

66 Vierter Hauptteil.
Zahl y. Zahl jy.
Grenze x. Aus der Aus den Grenze x. Aus der Aus den
Formel. Tafeln. Formel. Tafeln.
10000 1230 1230 200000 17982 17984
20000 2268 2263 250000 22035 22045
30000 3252 3246 300000 26023 25988
40000 4205 4204 350000 29961 29977
50000 5136 5134 400000 33854 33861
60000 6049 6058 500000 41533 41538
70000 6949 6936 600000 49096 49093
80000 7838 7837 700000 56565 56535
90000 8717 8713 800000 63955 63937
100000 9588 9592 900000 71279 71268
150000 13844 13849 1000000 78543 78493
395.
Unmöglich kann eine Formel eine ebenso weit ausgedehnte und
notwendigerweise häufigen Unregelmäfsigkeiten unterworfene Reihe
von Zahlen genauer darstellen. Um ein ohnehin bemerkenswertes
Gesetz noch besser zu beleuchten, füge ich hinzu, dafs, als ich nach
einem bald auseinanderzusetzenden Verfahren suchte, wie viel Primzahlen zwischen 1 und 1000000 enthalten seien, ich deren 78527
fand, ein Resultat, welches wenig von dem der in den Tafeln vorgenommenen Auszählung und noch weniger von dem durch die Formel
gelieferten verschieden ist. Es besteht daher kein Zweifel darüber,
nicht nur, dafs das allgemeine Gesetz durch eine Funktion von der
Forn lg x dargestellt wird, sondern auch, dafs die Koefficienten
wirklich die sehr angenäherten Werte A 1,..., B= -1,08366
besitzen. Es bliebe also nur noch übrig, dieses Gesetz von vornherein zu beweisen. Es ist dies eine interessante Untersuchung, über
welche wir nachstehend einige Versuche mitteilen.
396.
Nennt man a die Gröfse, um welche man x vermehren mufs,
damit y in y + 1 übergehe, so hat man zur Bestimmung von a die
folgende Gleichung, in welcher zur Abkürzung c = 1,08366 gesetzt ist:
1 log x — c lo x
log (x + a) - c log x - c