Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 8. fHäufigkeit der Primzahlen. 65
Ferner leitet man die allgemeine, allen Fällen genügende Formel
aus den Ausdrücken (-) =( —1)1, (I) - - 1)1' her. Dieselben
ergeben:
~ - (-1)+ —( —1) ( 2
wie in No. 166.
Auf diese Weise ist allgemein ein Satz bewiesen, den man als
den wichtigsten der Zahlentheorie betrachten kann, und der allen
denen, welche es versuchten, ihn auf anderem Wege zu beweisen,
grofse Schwierigkeiten bereitete.
Der soeben nach Friedrich Gaufs dafür gegebene Beweis
ist um so bemerkenswerter, als er auf den elementarsten Prinzipien
beruht; wir werden aber im sechsten Hauptteil Gelegenheit haben,
einen viel einfacheren Beweis dieses Satzes zu geben, welcher von
dem durch seine schönen Entdeckungen in der Theorie der elliptischen Funktionen bekannten Herrn Jacobi aus Königsberg herrührt.
~ 8.
Über ein sehr bemerkenswertes bei der Auszählung der Primzahlen
beobachtetes Gesetz.
394.
Obwohl die Reihe der Primzahlen äufserst unregelmäfsig ist,
kann man doch mit einer recht befriedigenden Genauigkeit angeben, wieviele dieser Zahlen zwischen 1 und einer gegebenen
Grenze x vorhanden sind. Die Formel, welche diese Aufgabe
löst, ist:
Y= log x - 1,08366
wo log x einen hyperbolischen Logaritlimus darstellt. In der That
giebt die Vergleichung dieser Formel mit der unmittelbaren in den
umfassendsten Tafeln, wie denen von Vega, Chernac oder Burckh ardt, vorgenommenen Au szählung die folgenden Resultate:
Le gedre, Zahlentheorie II. 5