Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

64 Vierter Hauptteil.
bis zu E(Mxix) einschliefslich den Wert 2 haben. Ihre Anzahl ist
gleich M, - M2.
Und so geht es weiter bis zu den letzten Gliedern, deren Wert
k' und deren Anzahl gleich p'- Mk ist.
Vereinigt man demnach alle Glieder, aus denen der Wert von
Z besteht, so erhält man:
Z -- 0xM + - (M -- Ml)
+ 3(M4-A3)
+ ('-1) l k (M -1-M,1)
+7 (2' ---,7 ),
oder, wenn man zusammenzieht:
Z == 'p' - M - M2 - M^3 -' -l1f_ - Xkl.
Nun ist aber allgemein:
M =.E(m,) = E (.
Mithin:
Z:, 'p' - E (+) - E (9 - L (C) -....,E (-).
( t ( X!. x x- x L x
Setzt man diesen Wert in den von it -- v ein, so folgt darauss (lie
sehr einfache Formel -- v - p'k', oder:
393.
Aus dieser Formel ergiebt sich unmittelbar der Satz, welcher
das zwischen zwei beliebigen Primzahlen p und k bestehende Reciprocitätsgesetz enthi.1lt. Ist eine der Zahlenp und l oder alle beide
von der Form 4n + 1, so wird die Gröfse T (2 - ) (k - 1) eine
gerade Zahl; somit sind die Zahlen gt und v entweder beide gerade
oder beide ungerade, und dies giebt (-) - (-)
Sind die Primzahlen 2p und k alle beide von der Form 4 +- 3,
so ist die Gröfse - (p - 1)(7 -- 1) eine ungerade Zahl; somit murfs
von den beiden Zahlen t und v die eine gerade, die andere ungerade
sein, undl dies giebt: (i)=-( -).
1~~~~~1.