Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 7. Beweis des ReciprocitätsgesetLes. 63
() —) (-)- 1 Dann erhalten wir zufolge der Formel in No. 389:
\+p( p \p ) + ( p ) + + ( p )
+=E ) +E(2) +E(j +..+E<(l)).
Nehmen wir an, dafs k <p sei, und setzen wir:
-x, p -=2p'+l, 7c== 2k'+,
so ergiebt sich:
+ v = E(x) + E(2x) + E(3x) +. + E(p'x)
+ + ( +.E...+E(I ).
Ich behaupte nun, dafs sich die rechte Seite auf p'k' reduciert.
Wir betrachten zunächst die Reihe:
z= E(x) + E(2x) + E(3x) + + E(p'x),
und bemerken, dafs die Glieder dieser Reihe stufenweise wachsen von
Null an, welches wegen x < 1 der Wert von E(x) ist, bis zu k', dem
Werte von E(p'x); denn es ist
pp k Öd-k k p - k
px =k' + -k'+p p 2p
folglich E(p'x)-= k'. Wir müssen nun untersuchen, wieviel Glieder
in dieser Reihe gleich 1, wieviel gleich 2, u. s. w. sind.
Zu diesem Zwecke nehmen wir unbestimmte Gröfsen in, 1 2
mn3, **.*- mk von der Beschaffenheit an, dafs
mx == 1, mx = 2, m3x = 3, m4x = 4, *.. mx == k
ist. Von diesen Zahlen m1 m2,... kann keine eine ganze Zahl sein,
z zp
da ihr allgemeiner Ausdruck m == = Z- und z < k ist. Ist demx- k
nach E(mz) =-M. so dafs m. zwischen die aufeinanderfolgenden
ganzen Zahlen Mz und MI -- 1 fällt, so folgt offenbar aus diesen
Annahmen:
1) dafs die ersten Glieder E(x), E(2x),.. bis E(Mlx) gleich
Null sind. Ihre Anzahl ist gleich M,.
2) dafs die folgenden Glieder E((1M + 1)x), E(( + 2)x),...
bis zu E(M2x) einschliefslich den Wert 1 haben. Ihre Anzahl ist
gleich M2 - Ml
3) dafs die folgenden Glieder E((M. + l)x), E((M + 2)x),...