Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

62 Vierter Hauptteil.
389.
1 1
Da im ersten Falle t ( — 1), im zweiten Falle - (2p-+ 1) eine
ganze Zahl ist, so reducieren sich allgemein die beiden Formeln auf
eine einzige, sobald k eine ungerade Zahl ist, nämlich auf:
==;( 1 ) + JE ( '2 + E ( ) +. + E ({(P )
390.
Ist k eine gerade Zahl, so können die beiden Formeln ebenfalls auf eine einzige gebracht werden, nämlich:
4 + ( —)( 1) +E ( -)+ 2, ( )+f )
+..+ E(1 )
vorausgesetzt, dafs man das doppelte Vorzeichen so bestimmt, dafs
11 ~~~~~~~1
4 (O ~ 1-) eine anze Zahl ist. Ja man kann auch für 4 (P ) (7- 1)
einfach - (p + 1) schreiben, da es sich immer nur darum handelt,
zu wissen, ob,t gerade oder ungerade ist.
391.
Tst z. B. 7 2, so sind alle (lieder E ( ), ( ),.. ( 1 )
gleich Null und man hat einfach S = T (p + 1).
Wenn daher p= 8n + 1 oder 8n + 7 ist, so ist die Zahl,u
gerade, und es ist (- -+ 1.
Wenn dagegen p = 8n + 3 oder 8n + 5 ist, so ist die Zahl lt
ungerade, und es ist (- = - I.
Man gelangt daher sehr einfach zu den bekannten Sätzen, welche
die Beziehung enthalten, in welcher 2 zu allen andern Primzahlen
steht (No. 150), zu Sätzen, deren Beweis fiir sehr schwierig gehalten
wurde, als die Wissenschaft von den Zahlen noch nicht so weit
vorgeschritten war.
392.
Es seien jetzt k und p zwei beliebige ungerade Primzahlen.
Da wir bereits ( -) =7 (-1)," gesetzt haben, so setzen wir analog