Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

60 Vierter Hauptteil.
A und B von 1 bis - (p - 1) gelten, so wird offenbar die rechte
Seite soviel Einheiten enthalten, als es Zahlen B giebt, cund da die
Anzahl derselben mit,u bezeichnet worden ist, so erhält man:
E(p) + E()+ (-)P)+....+ (_ )|
-2 E (7)-2 E ( )-21 ( )-....-2<E( P )|
Da mran ferner von dem Werte von g nur zu wissen braucht,
ob er gerade oder lungerade ist, so kann mlan in vorstehender Formel
die durch 2 teilbaren Glieder weglassen, wodurch sich einfach ergiebt:
E_ (27 ) + 4k ) 61k )1+;E ( )-1)1 ),388.
Dieser Wert ist einer Vereinfachung fähig. Setzt man
zunächst:
k = + m -f- t,
wo Tc positiv und kleiner als p ist, so hat man:
- == - m - 1 + - - =
P P
Mithin:
1 ( ) ) p -
In ä hnlicher Weise ist:
( 1 7k
und ebenso bei den andern. Diese Werte hat lman in die Formel
zu substituieren und dabei zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem
p von der Form 4n + 1 oder von der Form 4n + 3 ist.
1) Ist p- = 4n- + 1, so ist die Anzahl der Glieder
II ( 2 1 )I, 4 k.
gleich 2n. Die n ersten bilden die Reihe:,,) + E) +( ) + E p ),
Die in andern, in umgekehrter Reihenfolge geschrieben, bilden die
Reihe:
E ( -) ) + E (- ) + 1 + 2E